1  CONCEPTION ISOTROPIQUE D'UNE MORPHOLOGIE PARALLELE : APPLICATION A L'USINAGE D. CHABLAT, P. WENGER  Institut de Recherche en Cybernétique de Nantes, 1 rue de la Noë, 44321 Nantes, France  J. ANGELES  Centre for Intelligent Machines, McGill University, 817 Sherbrooke Street West, Montréal, Québec, Canada H3A 2K6  Abstract   :   The   aim   of   this   paper   is   the isotropic   design   of   a   hybrid   morphology dedicated to 3-axis machining applications. It is   necessary   to   ensure   the   feasibility   of continuous,   singularity-free   trajectories,   as well as a good manipulability in position and velocity. We want to propose an alternative design to conventional serial machine-tools. We   compare   a   serial   PPP   machine-tool (three   prismatic   orthogonal   axes)   with   a hybrid architecture which we optimize only the first two axes. The critrerion used for the optimization   is   the   conditioning   of   the Jacobian   matrices.   The   optimum,   namely isotropy, can be obtained which provides our architecture   with   excellent   manipulability properties.  Résumé   :   :   Le   but   de   cet   article   est   la conception   isotropique   d'une   morphologie hybride dont la vocation est l'usinage en trois axes.   Pour   cela,   nous   devons   garantir   la réalisation de trajectoires continues, c'est-à- dire sans singularité, et la manipulabilité en position et en vitesse. Pour présenter une alternative   possible   aux   morphologies sérielles des machines outils traditionnelles, nous comparons une morphologie sérielle de type   PPP ,   c'est-à-dire   trois   articulations prismatiques placées orthogonalement deux à deux,   et   une   structure   hybride   dont   nous allons optimiser les deux premiers axes de déplacement,   c'est-à-dire   la   table   de   la machine outil. Nous utilisons, comme critère d'optimisation,   le   conditionnement   des matrices   jacobiennes.   L'optimum   obtenu, c'est-à-dire l'isotropie, donne à la structure une excellente manipulabilité en position et en vitesse. .  1.   Préliminaires 1.1.   Morphologie sérielle à trois degrés de liberté  Dans   l'industrie,   les   machines   outils   trois axes   possèdent   une   morphologie   sérielle simple. Pour réaliser les déplacements dans les trois directions de l'espace, on utilise trois actionneurs prismatiques, soit   PPP , placés orthogonalement (Figure 1). Dans ce cas, il y a découplage entre le déplacement dans le plan   XY   et le déplacement suivant l'axe   Z   où se situe l'axe de rotation de l'outil.
2  X Z Y  Figure 1 : Morphologie de machine outil 3 axes classique Le problème de cette morphologie est que l'actionneur   commandant   l'axe   des   X  supporte   à   la   fois   la   pièce   à   usiner   et l'actionneur commandant le déplacement de l'axe des   Y . Ceci entraîne une asymétrie dans le comportement de la machine qui diminue ses   performances   cinématiques   et   surtout dynamiques. Pour résoudre ce problème, il est possible de changer la morphologie des machines   outils   en   utilisant   soit   des morphologies   parallèles   soit   des morphologies   hybrides. Pour   la   morphologie   PPP ,   le   modèle cinématique est le suivant,  J   .  ρ   =   . p   avec   J   =   1 3   ×   3 où   . p   = [   .  x   .  y   .  z]   T   le   vecteur   vitesse   de déplacement   d'un   point   de   l'outil   P   et  .  ρ   = [   .  ρ 1  .  ρ 2  .  ρ 3   ] T   le   vecteur   vitesse   des articulations   prismatiques.   La   matrice jacobienne   cinématique   J   étant   unitaire, l'ellipsoïde de manipulabilité en vitesse et en force [Yoshikawa 85] est une sphère unitaire et   cela   pour   toutes   les   configurations   de l'espace de travail. L'objectif de cet article est de se rapprocher de ce modèle cinématique en   utilisant   une   morphologie   parallèle   ou hybride.  1.2.   Morphologie   parallèle   plane   à deux degrés de liberté  Nous   focalisons   notre   étude   sur   le remplacement de la table de la machine outil de type   PP , par une structure parallèle. Ainsi, nous avons choisi d'étudier un manipulateur 5 barres (Figure 2).  P A C B D  ρ   1  α   2  θ   2  θ   1  α   1   ρ   2  L 1  L   2 Figure 2 : Morphologie parallèle à deux degrés de liberté  P A C B D  ρ   1   ρ   2 Figure 3 : Morphologie parallèle à deux degrés de liberté avec contrôle de l'orientation Les variables articulaires sont les variables   ρ 1 et   ρ 2   associées   aux   deux   actionneurs prismatiques   et   les   variables   de   l'espace opérationnel   sont   la   position   du   point  P   =[ x y ]   T . Les longueurs   L 1   et   L 2   , les angles  α 1   et   α 2   , et la position des points   A   et   B  définissent   complètement   la   géométrie   du manipulateur.   Pour   réduire   le   nombre   de variables de conception, nous posons   L 1   =   L 2 . Cette   simplification   permet   de   rendre symétrique   la   morphologie,   de   réduire   le nombre   de   pièces   différentes   et   donc   de réduire son coût de fabrication.
3 Pour maintenir l'orientation du repère attaché au point   P , nous choisissons d'utiliser deux parallélogrammes. Ainsi, nous augmentons la rigidité   de   la   structure   (Figure 3).   Le dimensionnement des barres entrant dans la composition des parallélogrammes n'est pas pris en compte dans notre étude. Cependant, la rigidité de la structure ainsi que les limites articulaires   des   articulations   passives   sont fonction   des   solutions   technologiques retenues pour leur conception. Pour obtenir le troisième axe de la machine outil, il est possible de placer une troisième articulation prismatique orthogonalement aux deux   premières.   Celle-ci   peut   être   située découplée comme dans le cas de la Figure 1.  1.3.   Cinématique   de   la   morphologie parallèle plane  La vitesse   . p   du point   P   peut être écrite de deux   manières   différentes.   Ainsi,   en parcourant   la   boucle   fermée   ( ACP-BDP ) dans les deux sens possibles, nous obtenons  . p   =   . c   +   .  θ 1   E   ( p   -   c )   (1a)  . p   =   . d   +   .  θ 2   E   ( p   -   d )   (1b) où  •   E   est   la   matrice   de   rotation   à   90° définie dans le plan,  E =   ⎣ ⎡   ⎦ ⎤ 0 -1 1 0   ;  •   c   et   d   représentent le vecteur position des points   C   et   D , respectivement. De plus, les vitesses   . c   et   . d   des points   C   et   D  sont données par,  . c   =   c   -   a  || c   -   a || .  ρ 1   =   ⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ cos( α 1 ) sin( α 1 ) .  ρ 1   ,  . d   =   d   -   b  || d   -   b || .  ρ 2   =   ⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ cos( α 2   ) sin( α 2 ) .  ρ 2 où les angles   α 1   et   α 2   sont les orientations des actionneurs prismatiques par rapport à l'horizontale. Maintenant, nous allons éliminer les vitesses articulaires   .  θ 1   et   .  θ 2   des équations (1a) et (1b) en les multipliant par ( p   -   c ) T et ( p   -   d ) T . ( p   -   c ) T   . p   = ( p   -   c ) T   c   -   a  || c   -   a || .  ρ 1   (2a) ( p   -   d ) T   . p   = ( p   -   d ) T   d   -   b  || d   -   b || .  ρ 2   (2b) Nous regroupons les équations (2a) et (2b) sous une forme vectorielle,  A . p   =   B   .  ρ  avec   A   et   B   indiquant   les   matrices jacobiennes   parallèle   et   sérielle respectivement. On note :  A   ≡   ⎣ ⎡   ⎦ ⎤ ( p   -   c ) T ( p   -   d ) T   ,  B   ≡  ⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ ( p   -   c ) T   c   -   a  || c   -   a ||   0 0   ( p   -   d )   T   d   -   b  || d   -   b || , .  ρ   =   ⎣ ⎡   ⎦ ⎤ .  ρ 1   , .  ρ 2   et .  p   =   ⎣ ⎡   ⎦ ⎤ .  x   , .  y  En   étudiant   les   matrices   A   et   B ,   nous pouvons définir les singularités parallèles et sérielles de ce manipulateur. Lorsque   A   et   B  sont   inversibles,   nous   pouvons   de   même étudier la matrice jacobienne cinématique   J  [Merlet 97] pour optimiser le manipulateur,  . p   =   J   .  ρ   avec   J   =   A -1   B   (3a) où la matrice jacobienne cinématique inverse  J -1   , telle que  .  ρ   =   J -1   . p   avec   J -1   =   B -1   A   (3b)
4  1.4.   Singularités parallèles  Les   singularités parallèles   sont dues à la perte   de   rang   de   la   matrice   jacobienne parallèle   A   [Chablat 98], c’est-à-dire lorsque det( A ) = 0. Dans ce cas, il est possible de déplacer localement la plate-forme mobile alors que les articulations motorisées sont bloquées.   Ces   singularités   sont particulièrement néfastes, car les efforts au sein   de   la   structure   s'accroissent dangereusement.   Pour   éviter   toute détérioration, il est nécessaire de limiter les variations articulaires. Pour la morphologie étudiée, les singularités parallèles apparaissent lorsque les points   C ,  D , et   P   sont alignés (Figure 4).  P  A C B D  ρ   1  ρ   2 Figure 4 : Singularité parallèle  P A C B D ρ   1  ρ   2 Figure 5 : Singularité structurelle Ces   postures   se   produisent   lorsque  θ 1   -   θ 2   =   k   π , pour   k   entier. Elles se situent à l'intérieur de l'espace de travail et forment les limites de l'ensemble articulaire. De plus, des singularités structurelles peuvent se produire lorsque   L 1   est égale à   L 2   (Figure 5). Dans ces configurations, la commande de l'effecteur est perdue.  1.5.   Singularités sérielles  Les   singularités sérielles   sont dues à la perte de rang de matrice jacobienne sérielle   B , c’est-à-dire lorsque det( B ) = 0. Dans ce cas, il   n’est   pas   possible   de   réaliser   certaines vitesses   de   la   plate-forme   mobile.   Les singularités sérielles représentent les limites de l’espace de travail   [Merlet 97] .  P A C B D  ρ   1  ρ   2 Figure 6 : Singularité sérielle Pour la morphologie étudiée, les singularités sérielles   apparaissent   lorsque  θ 1   -   α 1   =   π   / 2 +   k   π , ,   pour   k   entier   ou lorsque   θ 2   -   α 2   =   π   / 2 +   k   π ,   pour   k   entier (Figure 6).   Elles   traduisent   une   perte   de manipulabilité en force.  1.6.   Application à l'usinage  Pour   une   machine   outil   trois   axes,   le déplacement de la table se fait suivant deux axes perpendiculaires. La course de chaque actionneur donne la dimension de l'espace de travail.   Pour   les   manipulateurs   parallèles, cette transformation n'est pas directe. Il en résulte souvent un espace de travail dont les dimensions   sont   beaucoup   plus   petites. L'objectif de notre conception est de disposer d'un espace de travail équivalent à celui d'une machine outil classique. Dans ce cas, nous souhaitons disposer d'un espace de travail dont la forme se rapproche de la forme d'une table de machine outil c'est-à-dire possédant une forme rectangulaire.
5  2.   Conception isotropique  L'objectif   de   notre   conception   est   de supprimer   les   singularités   parallèles   de l'espace articulaire. Ainsi, la commande de la machine   outil   sera   simplifiée.   Cependant, nous   souhaitons   conserver   de   bonnes propriétés cinématiques. Nous allons dans un premier   temps,   isoler   les   conditions d'isotropie   des   matrices   jacobiennes   puis faire une étude comparative entre l'espace de travail   et   l'ensemble   articulaire   d'une morphologie classique de type Biglide et la morphologie   ainsi   définie.   La   conception isotropique de manipulateurs parallèles a déjà été étudié pour les manipulateurs parallèles plans   [Daniali 95]   et   sphériques [Gosselin 88].  2.1.   Conditionnement   d'une   matrice homogène  Au cours de notre processus de conception, nous   allons   définir   les   courbes   d'iso- conditionnement   des   matrices   jacobiennes. Nous   étudions   le   conditionnement   κ ( M ) d’une matrice   M   de dimension   m   ×   n , avec  m   ≤   n , comme étant le rapport entre la plus grande valeur singulière  σ g   et la plus petite valeur   singulière  σ p   de   la   matrice   M  [Golub 89] :  κ ( M ) =  σ g  σ p Les valeurs singulières {  σ k }   1   ,   m   de la matrice  M   sont   définies   comme   étant   les   racines carrées non-négatives des valeurs propres de la matrice semi-définie positive   M M T   de dimension   m   ×   m .  2.2.   Conditionnement   de   la   matrice jacobienne parallèle  Pour   calculer   le   conditionnement   de   la matrice jacobienne parallèle, il est nécessaire de calculer   AA T   :  AA T   =   L 2 1   ⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ 1   cos( θ 1   -   θ 2 ) cos( θ 1   -   θ 2   )   1 Les valeurs propres   η 1   et   η 2   de   AA T   sont alors :  η 1   =   L 2 1   (1 + cos( θ 1   -   θ 2   ))   et  η 2   =   L 2 1   (1 - cos( θ 1   -   θ 2 )) Nous définissons le conditionnement de la matrice jacobienne parallèle   A   comme :  κ ( A ) =   η   max  η   min où   η min   =1 - |cos( θ 1   -   θ 2   )|   et  η max   = 1 + |cos( θ 1   -   θ 2 )|. Après simplification, nous obtenons l’expression suivante :  κ ( A ) =   1 |tan((  θ 2   -  θ 1   ) / 2)| Ainsi,   le   conditionnement   de   la   matrice jacobienne parallèle est minimum, c’est-à- dire   égal   à   1,   lorsque | θ 1   -   θ 2 | =   π   / 2 +   k   π , pour   k   entier. Inversement,   le   conditionnement   de   la matrice jacobienne parallèle tend vers l’infini lorsque   | θ 1   -   θ 2 | =   k   π , pour   k   entier.   Les configurations pour lesquelles   κ ( A ) = 1 sont appelées configurations isotropes (Figure 7), alors que les configurations pour lesquelles  κ ( A )   →   + ∝   sont les singularités parallèles du manipulateur (Figure 4). L'étude du conditionnement de la matrice   A  nous   permet   de   trouver   un   ensemble   de configurations   du   manipulateur   pour lesquelles   la   matrice   A   est   isotrope.   Ces
6 conditions ne portent pas sur les orientations  α 1   et   α 2   des actionneurs.  2.3.   Conditionnement   de   la   matrice jacobienne sérielle  La matrice   B   étant diagonale, ses valeurs singulières,   β 1   et   β 2 , sont les valeurs absolues des   valeurs   de   la   diagonale.   Le conditionnement   κ ( B ) de la matrice   B   est défini tel que :  κ ( B ) =   β   max  β   min avec   B   ≡   L 1   ⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ cos( θ 1   -   α 1 )   0 0   cos( θ 2   -   α 2   ) où   β   max   et   β   min   sont définis comme suit : si |cos( θ 1   -   α 1   )| < |cos( θ 2   -   α 2   )|   alors  β min   = |cos( θ 1   -   α   1   )|   et   β max   = |cos( θ 2   -   α 2   )| ; sinon,   β min   = |cos( θ 2   -   α 2   )|   et  β max   = |cos( θ 1   -   α 1   )| Le conditionnement de la matrice jacobienne sérielle est minimum, soit   κ ( B ) = 1, lorsque |cos( θ 1   -   α 1   )| = |cos( θ 2   -   α 2   )|   ≠   0. Inversement,   il   tend   vers   l’infini   lorsque |cos( θ 1   -   α 1   )| = 0 ou lorsque |cos( θ 2   -   α 2   )| = 0. Les configurations pour lesquelles   κ ( B ) = 1 sont les configurations isotropes (Figure 8) et les   configurations   pour   lesquelles  κ ( B )   →   + ∝   sont les singularités sérielles du manipulateur (Figure 6). Comme pour l'étude du   conditionnement   de   la   matrice   A ,   les conditions   d'isotropie   de   la   matrice   B   ne portent   pas   sur   l'orientation   α 1   et   α 2   des actionneurs.  P A C B D  ρ   1  ρ   2 Figure 7 : Configuration isotrope de la matrice jacobienne parallèle  P  A C B D  ρ   1   ρ   2 Figure 8 : Configuration isotrope de la matrice jacobienne sérielle  2.4.   Conditionnement   de   la   matrice jacobienne cinématique  Pour   définir   l'orientation   des   articulations prismatiques,   nous   allons   étudier   le conditionnement   de   la   matrice   jacobienne cinématique   inverse   J -1   donnée   dans l'équation (3b). Dans ce cas, les matrices   B -1 et   J -1   s'écrivent simplement,  B -1   = 1 L   1  ⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ 1 c   1 0 0   1 c 2 ,   J -1   =  ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ 1 c   1 ( p   -   c ) T 1 c   2 ( p   -   d ) T avec c   i   = cos( θ i   -   α i   ) , i = 1, 2 Les conditions d'isotropie de la matrice   J -1 sont les suivantes, i) 1 c   1 || p   -   c || = 1 c   2 || p   -   d ||   et ii) ( p   -   c ) T   ( p   -   d ) = 0 Dans la suite de cet article, nous posons  α 1   = 0 et   α 2   =   π   / 2 afin de rendre   J -1   unitaire
7 sur la configuration isotrope lorsque   θ 1   = 0 et  θ 2   =   π   / 2.   Dans   cette   configuration,   un déplacement de l'articulation prismatique lié à   ρ 1   produit un mouvement colinéaire à   x  (Figure 9) et un déplacement de l'articulation prismatique lié à   ρ 2   produit un mouvement colinéaire à   y   comme c'est le cas sur une machine outil d'architecture   PP . De plus, si nous plaçons les coordonnées du point   A   en (0 0) puis   B   en (M -M) (Figure 10), les variables   articulaires   ρ 1   et   ρ 2   sont   égales lorsque   le   manipulateur   atteint   sa configuration isotrope.  x y  ρ   1  ρ   2  Figure 9 : Déplacement du point   P   engendré par le déplacement d'une articulation prismatique  P A (0 0)   C B (M M)  D  ρ   1  ρ   2  x  y  Figure 10 : Configuration isotrope  Cette constatation nous permet d'aborder le problème   d'amplification   de   vitesse   dû   à l'utilisation d'une morphologie parallèle. En effet, dans le cas d'une morphologie sérielle possédant trois axes de déplacement linéaire, le déplacement d'une articulation provoque le même déplacement de l'outil (ou de la pièce). Pour   les   morphologies   parallèles,   ces déplacements   ne   sont   pas   équivalents. Lorsque   le   manipulateur   est   proche   d'une singularité   parallèle,   il   se   produit   une multiplication des déplacements, c'est-à-dire que le déplacement d'une unité de mesure d'une   articulation   peut   provoquer   un déplacement plusieurs fois supérieures dans l'espace de travail. Inversement, pour usiner à une   précision   constante,   la   précision   des actionneurs doit être très grande.  2.5.   Étude de l'espace de travail et de l'ensemble articulaire  Dans cette étude, nous allons voir que les conditions   d'isotropie   donnent   au manipulateur   étudié   des   propriétés   très intéressantes. Pour cela, nous allons étudier deux morphologies, l'une où les orientations des   actionneurs   sont   α 1   =   α 2   = 0   de   type biglide   (Figure 11)   et   l'autre   avec   les orientations   précédemment   calculées (Figure 12).  P A   C   B D  ρ   1   ρ   2 Figure 11 : Morphologie de type biglide
8  P A   C B D  ρ   1  ρ   2 Figure 12 : Morphologie isotrope Pour   définir   les   limites   de   l'ensemble articulaire, nous allons étudier les ellipsoïdes de   manipulabilité   en   vitesse   issues   de   la matrice   J -1   [Yoshikawa 85].   En   utilisant l'équation   (3b),   nous   pouvons   écrire   une relation entre la vitesse   . p   du point   P   et la vitesse articulaire   .  ρ . En posant ||   .  ρ ||   ≤   1, nous obtenons :  . p T   ( JJ T   ) -1   . p   ≤   1   (4) L'équation (4) définit le domaine de variation de   . p . La transformation d'un cercle de rayon unitaire   de   l'ensemble   articulaire   par   la matrice   ( JJ T )   -1   donne   une   ellipse   dans l'espace   de   travail   (Figure 13) [Lallemand 94].  ρ   1  ρ   2  x  y  J -1  γ   2  γ   1 Figure 13 : Définition de la manipulabilité en vitesse Les   racines   carrées   γ 1   et   γ 2   des   valeurs propres de la matrice ( JJ T )   -1   sont les valeurs des demi-axes de l'ellipse qui définissent les deux   facteurs   d'amplification   de   vitesse (actionneur   vers   effecteur),   λ 1   = 1 /   γ 1   et  λ 2   = 1 /   γ 2 , selon ces axes principaux. Pour limiter les variations de ces facteurs dans l'espace   de   travail,   nous   posons   comme contrainte que, 1/3 <   λ i   < 3   (5) Cela signifie que lorsque l'on impose une vitesse   v   dans l'espace articulaire, la vitesse résultante dans l'espace de travail est au plus trois fois plus grande ou au moins trois fois plus petite. Ce critère est très important car il conditionne aussi la précision en position de l'outil de la machine. Pour   pouvoir   comparer   les   deux manipulateurs,   la   distance   entre   les   deux points   A   et   B   est   constante   ainsi   que   la longueur des barres   L 1   et   L 2   . De même, pour améliorer   la   comparaison,   l'échelle   de représentation de l'ensemble articulaire et de l'espace de travail est identique.  ρ   1  ρ   2 Zone utile (a) (b)   x  y Espace de travail utile Figure 14 : Ensemble articulaire (a) et espace de travail (b) pour la morphologie biglide
9  ρ   1  ρ   2 Zone utile (a) (b)  x y  Espace de travail utile Figure 15 : Ensemble articulaire (a) et espace de travail (b) pour la morphologie isotrope L'objectif premier de notre recherche était de concevoir un manipulateur ne possédant pas de singularité dans son espace de travail. Pour cela, nous allons utiliser les contraintes imposées par l'équation (5) pour définir la  zone utile   de forme carré dans l'ensemble articulaire   et   son   image   dans   l'espace   de travail,   l'espace de travail utile . Dans le cas de la morphologie isotrope, la définition d'une zone sans singularité dans l'ensemble   articulaire   et   respectant   les contraintes sur les facteurs d'amplification de vitesse   nous   conduit   à   placer   des   butées articulaires moins sévères que dans le cas de la morphologie Biglide (Figures 14a et 15a). De   plus,   l'espace   de   travail   utile   de   la morphologie   isotrope   est   plus   adapté   à l'usinage car le carré inscrit est 7 fois plus grand que celui de la morphologie biglide (Figures 14b et 15b). Pour la morphologie isotrope, nous montrons dans la Figure 16 les courbes d'iso-valeurs des facteurs d'amplification de vitesse.  -   2 .   50 -   2 .   00 -   1 .   50 -   1 .   00 -   0 .   50   0 .   00   0 .   50   1 .   00   1 .   50   2 .   00 -6.50 -6.00 -5.50 -5.00 -4.50 -4.00 -3.50 -3.00 -2.50 -2.00 -2.50   -2.00   -1.50   -1.00   -0.50   0.00   0.50   1.00   1.50   2.00 -6.50 -6.00 -5.50 -5.00 -4.50 -4.00 -3.50 -3.00 -2.50 -2.00   x x y y  I I Figure 16 : Courbes d'iso-valeurs des facteurs d'amplification de vitesse   λ i   dans l'espace de travail utile de la morphologie isotrope On   constate   alors   que   les   contraintes d'amplification   de   vitesse   λ i   varient   entre [0.4 , 1.6]. De plus, si l'on délimite une zone carrée   dans   l'espace   de   travail   utile,   on observe que les contraintes ne sont saturées que dans une petite zone (noté I) placée sur la frontière.  3.   Conclusion  Nous   venons   de   réaliser   une   conception isotropique   d'une   morphologie   parallèle   à deux degrés de liberté. Nous constatons que
10 l'optimisation des dimensions en étudiant le conditionnement   des   matrices   jacobiennes permet   d'obtenir   à   la   fois   de   bonnes performances cinématiques et un bon espace de   travail.   En   considérant   l'ensemble articulaire, il est possible de simplifier la commande   en   supprimant   les   singularités parallèles. De plus, l'utilisation du facteur d'amplification de vitesse permet de définir une   distance   par   rapport   aux   singularités parallèles. Par la suite, nous souhaitons généraliser cette morphologie au cas spatial, pour obtenir une morphologie   parallèle   à   trois   degrés   de liberté en position.  Bibliographie  [Chablat 98] :   Chablat   D.,   " Domaines d'unicité   et   parcourabilité   pour   les manipulateurs pleinement parallèles ", Thèse de Doctorat, Nantes, Novembre, 1998. [Lallemand 94] :   Lallemand,   J.P.   et   S. Zeghoul, Robotique : Aspects fondamentaux, Masson, Paris, 1994. [Merlet 97] :   Merlet   J.P.,   Les   robots parallèles, 2 ème   édition, Hermes, Paris, 1997. [Yoshikawa 85] :   Yoshikawa   T., " Manipulability   and   redundant   control   of mechanisms", Proc. IEEE, Int. Conf. Rob. And Aut., pp. 1004-1009, 1985. [Daniali 95]: Daniali M., " Contributions of the   Kinematics   Synthesis   of   Parallel Manipulators ", Thèse de doctorat, McGill, 1995. [Gosselin 88]:   Gosselin   C.,   " Kinematic Analysis, Optimisation and Programming of Parallel   robotic   Manipulators ",   Thèse   de doctorat, McGill, 1988. [Golub 89] : Golub G.H. et Van Loan C.F.,  Matrix   Computations,   The   John   Hopkins University Press, Baltimore, 1989.