Résumé   — Dans cet article, nous proposons une méthode pour le calcul des modèles dynamiques inverse et direct de l'Orthoglide, un robot parallèle à trois degrés de liberté en translation. Ces modèles sont calculés à partir des éléments du modèle dynamique de la structure d'une chaîne cinématique et des équations de Newton-Euler   appliquées   à   la   plate-forme.   Ces   modèles   sont obtenus sous forme explicite ayant une interprétation physique intéressante.  Mots clés   — Robots parallèles, 3-DDL, dynamique, structures fermées, modèle dynamique inverse, modèle dynamique direct.  I.   I   NTRODUCTION Les   robots   parallèles   sont   des   systèmes   multi-corps complexes, qui sont parmi ceux les plus difficiles à modéliser, à cause de leur architecture parallèle qui comporte plusieurs boucles   fermées.   Suite   à   l'augmentation   constante   des performances attendues par ce type de machines, la conception de   leur   commande   doit   prendre   en   compte   les   forces d’interactions dynamiques. D’où l’intérêt d’avoir un modèle dynamique efficace pour la commande en ligne. Afin d'obtenir le modèle dynamique des robots parallèles, beaucoup de méthodes calculent le modèle dynamique de la structure   arborescente   et   utilisent   les   multiplicateurs   de Lagrange afin d'obtenir le modèle dynamique complet du robot [1-5]. Le principe des travaux virtuels a été utilisé dans [6,7]. La   formulation   de   Newton-Euler   a   aussi   été   utilisée,   par exemple : Reboulet et al. [8] ont donné une forme matricielle pour les robots parallèles de type Stewart, cependant leur modèle n'est pas complet. Ils négligent notamment la masse des pistons et la rotation autour de l'axe principal de chaque chaîne. Gosselin [9] a proposé le modèle dynamique inverse du robot Stewart dans lequel toutes les masses et inerties sont prises   en   compte,   le   problème   direct   n'a   pas   été   traité. Dasgupta et al. [10] ont appliqué cette méthode à plusieurs robots parallèles de type planaires et spatiaux [11]. Ji [12] a étudié l'influence de l'inertie des chaînes cinématiques dans le modèle dynamique. Cet article propose une solution pour la formulation des modèles dynamiques complets inverse et direct des robots parallèles. Ces modèles sont obtenus en termes des éléments du modèle dynamique cartésien des chaînes cinématiques du robot perçues aux points de connexions des chaînes avec la plate-forme. Par conséquent, on peut appliquer les techniques développées pour les robots séries aux calculs de ces modèles. Nous avons récemment proposé une nouvelle méthode pour la modélisation dynamique du robot à 6 degrés de liberté Gough-Stewart   [13].   Dans   cet   article,   nous   considérons l'application   de   cette   méthode   au   robot   Orthoglide   [14]. L'architecture de l'Orthoglide est donnée sur la figure 1. La description des chaînes cinématiques est présentée sur la figure 2. L'Orthoglide est une machine de type parallèle possédant 3 articulations prismatiques orthogonales. La plate-forme mobile est   connectée   aux   articulations   prismatiques   par   3 parallélogrammes articulés et bouge dans l'espace cartésien x- y-z avec une orientation fixe. Fig. 1. : Architecture de l'Orthoglide  B   i C i Articulations rotoïdes Articulation de type parallèlogramme A i P Actionneur Prismatique CHAÎNE i   P R R Pa P R R Pa P R R Pa Base Plate-forme Fig. 2. : Description du robot Orthoglide L'Orthoglide est dédié à l'usinage à grande vitesse, car son architecture   se   rapproche   des   machines   standards d'architecture série PPP (espace de travail Cartésien régulier et performances uniformes) et avec, en plus, les propriétés des structures   parallèles (inerties moins importantes et meilleures performances dynamiques). Son espace de travail est proche d'un cube et ne possède aucune singularité. Il existe une configuration où la matrice Jacobienne est isotrope avec tous ces facteurs d'amplification de vitesse égaux à 1. Ces facteurs restent bornés dans l'intervalle [1/2 ; 2] dans le reste de l'espace de travail. Sylvain   GUEGAN,   Wisama   KHALIL,   Damien   CHABLAT,   Philippe   WENGER Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes BP 92101 1, rue de la Noë, 44321 Nantes Cedex 03, France wisama.khalil @irccyn.ec-nantes.fr http://www.irccyn.ec-nantes.fr Modélisation Dynamique d'un Robot Parallèle à 3-DDL : l'Orthoglide
Le paragraphe suivant présente la description géométrique du   robot.   Le   paragraphe   trois   traite   de   la   modélisation cinématique du robot. Les paragraphes quatre et cinq donnent respectivement les modèles dynamiques inverse et direct du robot. Un paragraphe final permet de tirer les conclusions sur ce travail. II.   D   ESCRIPTION DU ROBOT L'Orthoglide est un robot parallèle à trois degrés de liberté en translation. Il est composé d'une plate-forme mobile et de trois   chaînes   cinématiques   identiques.   Chaque   chaîne   est composée d'un actionneur prismatique (P) liant la base à la chaîne (point A   i   pour i = 1, 2, 3) d'une articulation rotoïde (R), d'une   articulation   de   type   parallélogramme   (Pa)   et   d'une articulation rotoïde liant la chaîne à la plate-forme (figure 2). Le robot a une structure complexe avec 2 boucles spatiales et 3 boucles planaires. La structure arborescente équivalente est obtenue en isolant la plate-forme et en coupant les trois articulations passives q   8i   (i = 1, 2, 3) (figure 3) : R 2i R 5i x 5i   x 6i Articulation coupée b   9i D 6i z   8i z   9i z   6i z   5i q   8i q   5i q   4i x 2i   x 3i x 4i x 2i   '   x 5i   ' x 7i x 8i   x 9i z   4i z   3i D 8i b   7i q   7i C i B   i A i P z   7i z   2i x 1i z   0i z   1i x 0i A i D 4i q   2i q   3i q   1i CHAÎNE i Fig. 3. : Placement des repères sur la chaîne i A 1 A 2 z   0   , z   A1 y 0   , y A1 x   0 x   A1 A 3 z K y K x   K P   z   P y P x P R 0 R   P   K z   A2 x   A2 x   A3 y A3   z   A3 y A2 Fig. 4. : Repère de la base R 0   et repère de la plate-forme R P Les axes des trois actionneurs se coupent au point K. Le repère fixe R K   a pour origine le point K. Les axes x   K   , y K   , z K sont   définis   par   les   axes   des   trois   actionneurs   (q 1i ), respectivement q   12 , q   13, q   11. Nous définissons également deux repères : le repère R 0   fixe par rapport à la base et le repère R p fixe par rapport à la plate-forme, respectivement d'origine A 1 et P. Leurs axes, respectivement (x   0, y 0, z 0) et (x   P , y P , z P ), sont parallèles aux axes (x k, y k, z k). De plus, nous introduisons 3 repères R Ai   d'origine A   i . Leurs axes sont définis de la manière suivante : l'axe z Ai   est le long de l'axe de l'actionneur i et le plan (x   Ai , z Ai ) est défini pour i = 1 à 3 respectivement par : (A 1, K,   A   2),   (A   2,   K,   A   3),   (A   3,   K,   A   2).   La   figure   4   indique l'emplacement de ces repères. La notation de Khalil et Kleinfinger [15] peut-être utilisée pour décrire la géométrie de la structure arborescente. Le placement des repères est indiqué sur la figure 3. On peut remarquer   que   l'on   utilise   deux   repères   R 8i   et   R 9i ,   pour l'articulation coupée q 8i   [15]. Les paramètres géométriques nécessaires pour définir le repère du 1 er   corps de chaque chaîne R 1i , dans le repère de base du robot R 0 , sont donnés dans le tableau 1. Le tableau 2 donne la description du reste de chaque chaîne : j   i   a (j   i )   μ ji   σ   ji   γ   ji   b   ji   α   ji   d   ji   θ   ji   r   ji 1   1   0   1   1   0   0   0   0   0   q   11 1   2   0   1   1   π /2   a   π /2   0   0   -a+q   12 1   3   0   1   1   0   a   - π /2   0   - π /2   -a+q   13  Tableau 1 : Paramètres géométriques du repère du 1   er   corps de la chaîne i (pour i = 1 à 3) j   i   a (j   i )   μ ji   σ   ji   γ   ji   b   ji   α   ji   d   ji   θ   ji   r   ji 2   i   1   i   0   0   0   0   - π /2   0   q   2i   r 2i 3   i   2   i   0   0   0   0   - π /2   0   q   3i   0 4   i   3   i   0   0   0   0   0   D 4i   q   4i   0 5   i   4   i   0   0   0   0   π /2   0   q   5i   r 5i 6   i   5   i   0   0   0   0   0   D 6i   0   0 7   i   2   i   0   0   0   b   7i   - π /2   0   q   7i   0 8   i   7   i   0   0   0   0   0   D 8i   q   8i   0 9   i   5   i   0   0   0   b   9i   - π /2   0   0   0 Remarque : b 7i   = -2 r 2i   , b   9i   = -r 2i   , r   5i   = -r 2i   , D 8i   = D 4i q   7i   = q 3i   , q   8i   = q 4i   = -q   3i   , q   5i   = -q 2i   - π /2 Tableau 2 : Paramètres géométriques de la chaîne i Les Paramètres des tableaux 1 et 2 sont : a(j) qui donne le repère antécédent au repère j,  μ (j) et   σ (j) qui décrivent le type de l'articulation : -   μ (j) = 1 si l'articulation j est motorisée et   μ (j) = 0 si elle est passive, -   σ   (j) = 1 si l'articulation est prismatique et   σ   (j) = 0 si elle est rotoïde. Les paramètres ( γ j , b   j ,   α   j , d   j ,   θ   j , r   j ) sont utilisés pour définir le repère R j   dans le repère de son antécédent R i . La matrice de transformation composée de ces paramètres est notée : (1 3)   1  ⎡   ⎤ = ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ ⎣   ⎦  i   i j   j i j A   P T   0   x  (1) où :  i j A   est la matrice (3 × 3) qui définit l'orientation du repère R j   dans le repère R i .  i j P   est la matrice de position (3 × 1) qui définit l'origine du repère R j   dans le repère R i .
III.   M ODÉLISATION CINÉMATIQUE Les notations suivantes sont utilisées : (X   p, Y   p   , Z p)   coordonnées du point P exprimées dans le repère R 0 (X   Ai , Y   Ai , Z Ai )   coordonnées du point A   i   exprimées dans le repère R 0  L   matrice composée des variables prismatiques du robot  [   ] T 11   12   13 q   q   q = L  L    matrice   composée   des   vitesses   des   articulations prismatiques du robot :   [   ] T 11   12   13 q   q   q = L            i q    matrice   composée   des   vitesses   des   articulations indépendantes de la chaîne i :   [   ] T i 3 i 2 i 1 i   q q q         = q  i q    matrice composée des accélérations des articulations indépendantes de la chaîne i :   [   ] T i 3 i 2 i 1 i   q q q             = q  p 0   V   vitesse linéaire de l'origine de la plate-forme,  p 0   V    accélération linéaire de l'origine de la plate-forme. Les modèles suivants sont présentés dans [16,17] et ont une solution unique : i) Le modèle géométrique inverse du robot donne les variables prismatiques motorisées (q 1i ) en fonction des coordonnées (X   p, Y   p, Z p) exprimées dans le repère R 0   :  0 p L = F( P )   (2) avec   [   ] T P   P   P X   Y   Z = 0 p P  Le modèle géométrique inverse est de la forme suivante :  (   )   (   ) (   )   (   ) (   )   (   )  11   P   31   21   41   61 12   P   A2   32   22   42   62 13   P   A3   33   23   43   63 q   Z   cos q   cos q   D   D q   X   X   cos q   cos q   D   D q   Y   Y   cos q   cos q   D   D  −   − ⎡   ⎤ ⎡   ⎤   ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ =   −   −   − ⎢   ⎥ ⎢   ⎥   ⎢   ⎥ ⎢   ⎥   −   −   − ⎣   ⎦   ⎣   ⎦  (3) avec : 1   P 31 41 Y q   sin   D  −   ⎛   ⎞ − =   ⎜   ⎟ ⎝   ⎠  et   (   )  1   P 21 31   41 X q   sin   cos q   D   2  − ⎛   ⎞ ⎛   ⎞ −   π = −   + ⎜   ⎟ ⎜   ⎟ ⎜   ⎟ ⎜   ⎟ ⎝   ⎠ ⎝   ⎠  ; 1   P   A 2 32 42 Z   Z q   sin   D  −   ⎛   ⎞ −   + =   ⎜   ⎟ ⎝   ⎠  et   (   )  1   P   A 2 22 32   42 Y   Y q   sin   cos q   D   2  − ⎛   ⎞ ⎛   ⎞ −   +   π = −   + ⎜   ⎟ ⎜   ⎟ ⎜   ⎟ ⎜   ⎟ ⎝   ⎠ ⎝   ⎠  ; 1   P   A3 33 43 X   X q   sin   D  −   ⎛   ⎞ −   + =   ⎜   ⎟ ⎝   ⎠  et   (   )  1   P   A3 23 33   43 Z   Z q   sin   cos q   D   2  − ⎛   ⎞ ⎛   ⎞ −   +   π = −   + ⎜   ⎟ ⎜   ⎟ ⎜   ⎟ ⎜   ⎟ ⎝   ⎠ ⎝   ⎠  ; ii) Le modèle cinématique inverse du robot donne la vitesse des   variables   prismatiques   motorisées   (   11   12   13 q   , q   , q          )   en fonction de la vitesse de la plate-forme :  − =   0   1 0 p   p L   J   V    (4) où   − 0   1 p J   est la matrice Jacobienne inverse du robot : 31 21   21 32 22   22 33 23   23 T 1   1 T   S T 1 1   T   S T   1 1 S   T  − ⎡   ⎤ − ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ =   − ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ − ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ ⎣   ⎦  0   1 p J   (5) avec :   (   ) 2i   2i T   tan q =   ,   (   ) 3i   3i S   sin q =   et   (   ) 3i   3i T   tan q =   . iii) Le modèle cinématique inverse de la chaîne i donne la vitesse   des   articulations   de   la   chaîne   i   (   i 3 i 2 i 1   q , q , q        )   en fonction de la vitesse du point P :  =   0   -1 0 i   i   p q   J   V    (6) où   0   -1 i J   est la matrice Jacobienne inverse de la chaîne i. 41   31   21   41   31   21 41   31 41   31   21   41   31   21 0   D   C   S   D   S   C 0   0   D   C 1   D   C   C   D   S   S  −   − ⎡   ⎤ ⎢   ⎥ =   − ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ − ⎣   ⎦  0 1 J   ,   42   32   22   42   32   22 42   32   22   42   32   22 42   32 1   D   C   C   D   S   S 0   D   C   S   D   S   C 0   0   D   C  − ⎡   ⎤ ⎢   ⎥ =   −   − ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ − ⎣   ⎦  0 2 J  43   33 43   33   23   43   33   23 43   33   23   43   33   23 0   0   D   C 1   D   C   C   D   S   S 0   D   C   S   D   S   C  − ⎡   ⎤ ⎢   ⎥ =   − ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ −   − ⎣   ⎦  0 3 J   (7) 31 21   21 31 41   31   21   41   31   21 41   31 T 1   1 T   S T 1   0 D   C   S   D   C   T 1 0   0 D   C  ⎡   ⎤ − ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ =   − ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ − ⎢   ⎥ ⎣   ⎦  0   -1 1 J   , 32 22   22 31 42   32   22   42   32   22 42   32 T 1 1   T   S T 1 0   D   C   S   D   C   T 1 0   0   D   C  ⎡   ⎤ − ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ =   − ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ − ⎢   ⎥ ⎣   ⎦  0   -1 2 J  33 23   23 33 43   33   23   43   33   23 43   33 T   1 1 S   T T   1 0 D   C   T   D   C   S 1   0   0 D   C  ⎡   ⎤ − ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ =   − ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ − ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ ⎣   ⎦  0   -1 3 J   (8) iv) Le modèle cinématique inverse du second ordre de la chaîne i donne l'accélération des articulations de la chaîne (   1i   2i   3i q , q   , q          ) en fonction de l'accélération du point P :  (   ) 0   -1   0   0 i   i   p   i   i q =   J   V -   J q           (9) IV.   M ODÈLE DYNAMIQUE INVERSE Le modèle dynamique inverse   représente la relation entre les   forces   des   articulations   motorisées   et   les   positions, vitesses, accélérations cartésiennes de la plate-forme. Il s'écrit  Γ =   0   0   0 P   p   p f ( P ,   V ,   V )    . En utilisant les modèles géométrique et cinématique inverse du robot et des chaînes on peut exprimer la position, la vitesse et   l'accélération   des   articulations   de   chaque   chaîne (   ,   , i   i   i q   q   q       ) en fonction du mouvement de la plate-forme  (   ) 0   0   0 P   p   p P ,   V ,   V    . q   5i q   8i q   4i f xi   f   i  f yi f zi A i P q   2i q   7i q   3i q   1i Fig. 5. : Force f   i En représentant les réactions de la plate-forme sur la chaîne i par   f   i   (figure 5), les inconnues du modèle dynamique inverse sont les 9 composantes des forces   [   ] T zi yi xi   f f f = i f   et les 3 forces des articulations indépendantes   Γ 1i   (i = 1, 2, 3). Le modèle dynamique inverse de chaque chaîne est composée de 3 équations indépendantes (cf : annexe) ce qui donne un total
de 9 équations. Les équations de Newton-Euler de la plate- forme donnent 3 équations supplémentaires. Le système est donc composé de 12 inconnues et de 12 équations, il est donc envisageable   d'être   résolu.   Dans   la   suite,   ce   système d'équations sera résolu de façon séquentielle.  A.   Calcul de   0f   i   en utilisant le modèle dynamique de la chaîne i  La forme générale du modèle dynamique de la chaîne i, s'écrit :  (   ) , Γ =   +   0   T 0 i   i   i   i   i   i   i H   q ,q   q   J   f       (10) où :  (   )   (   ) ,   =   + i   i   i   i   i   i   i   i   i H   q ,q   q   A q   h   q ,q             (11)  A   i   est la matrice d'inertie (3 × 3) de la chaîne i et   h   i   est la matrice (3 × 1) contenant les forces de Coriolis, centrifuge et gravité.   Γ i   est composé des couples/forces de la chaîne i, où   Γ 1i et   Γ 2i   sont nuls :  [   ]   [   ]  T   T 1i   2i   3i   1i   0   0 Γ = Γ   Γ   Γ   = Γ i   (12) En   utilisant   l'équation   (10),   les   forces   de   réaction   0f   i  peuvent s'écrire :  (   ) (   ) , =   Γ − 0   0   -T i   i   i   i   i   i   i f   J   H   q ,q   q       (13)  (   ) , = −   +   Γ 0   0   -T   0   -T i   i   i   i   i   i   i   i f   J   H   q ,q   q   J       (14) En notant   (   ) , 0   -T i   i   i   i   i J   H   q , q   q       par   (   ) , xi   i   i   i H   q ,q   q       , alors :  (   ) , = −   +   Γ 0   0   -T i   xi   i   i   i   i   i f   H   q ,q   q   J       (15)  (   ) , xi   i   i   i H   q ,q   q       exprime le vecteur   (   ) , i   i   i   i H   q ,q   q       dans l'espace cartésien de position au point P i   [18,19]. En utilisant l'équation (8), on obtient pour la chaîne 1 :  (   ) 0 1   x1   1   1   1 f   = - H   q ,q ,q   +      21 31 21 1 T T S 1  ⎡   ⎤ − ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ ⎣   ⎦  11 Γ   (16) On peut observer que le coefficient de   Γ 11   dans l'équation (16)   correspond   à   la   première   colonne   de   la   matrice Jacobienne inverse transposée du robot (équation (5)). Il en est de même pour les chaînes 2 et 3, qui donne des matrices respectivement   fonction   de   Γ 12   et   Γ 13 ,   qui   correspondent respectivement à la deuxième et la troisième colonne de la matrice Jacobienne inverse transposée du robot :  (   )   [   ] , , = −   +   Γ 0   0   -T i   xi   i   i   i   p   i : i f   H   q ,q   q   J       (17) Où   [   ] ,  0   -T p   : i J   représente la i ème   colonne de la matrice Jacobienne inverse transpose du robot.  B.   Dynamique de la plate-forme  Les équations de Newton-Euler appliquées à l'origine de la plate-forme s'écrivent (pas de rotation) : p   p M   M =   − 0   0   0 P   P F   V   g    (18) Avec :  0g   accélération de la pesanteur exprimée dans le repère R 0 M p   masse de la plate-forme  0 P F   Force totale extérieure appliquée sur la plate-forme au point P. Puisque   0 P V    est connu, alors   0F p   peut-être calculé à partir de l'équation (18). Les forces appliquées à la plate-forme dues aux forces de réaction de chaque chaîne (figure 6) sont calculées en utilisant l'équation suivante : 3 i   1 = =   ∑ 0   0 p   i F   f   (19) Chaîne 2 Chaîne 1 Chaîne 3 Plate-forme P  0 F   P 0 f 3 0 f 1 0 f 2  Fig. 6. : Forces extérieures appliquées au point P En substituant l'équation (17) dans l'équation (19), on obtient :  (   )   [   ] (   )  3 1i , i   1 ,  = ⎡   ⎤ =   −   +   Γ ⎢   ⎥ ⎣   ⎦ ∑ 0   0   -T p   xi   i   i   i   p   : i F   H   q ,q   q   J       (20) où :  (   )  3 i   1 ,  = Γ   =   +   ⎡   ⎤ ⎣   ⎦ ∑ 0   -T   0 p   robot   p   xi   i   i   i J   F   H   q ,q   q       (21) On peut en déduire :  robot T p 0 robot   H J Γ   =   (22) avec :  [   ] T 11   12   13 = Γ   Γ   Γ robot Γ  (   )  3 i   1 ,  = =   +   ⎡   ⎤ ⎣   ⎦ ∑ 0 robot   p   xi   i   i   i H   F   H   q ,q   q       (23) L'équation (22) représente le modèle dynamique inverse. Pour le calculer, en plus du calcul des matrices Jacobiennes, nous   devons   déterminer   (   ) , i   i   i   i H   q ,q   q       qui   représente   le modèle   dynamique   inverse   de   la   chaîne   i.   Différentes méthodes   peuvent   être   utilisées   pour   calculer   ce   vecteur numériquement   ou   symboliquement   [20,21,22].   Afin   de réduire   les   coûts   du   calcul,   la   méthode   de   Newton-Euler s'appuyant sur un calcul symbolique itératif et utilisant les paramètres inertiels de base du robot peut-être utilisée [17,23].  On   peut   remarquer   que   le   modèle   dynamique   inverse, équation (22), ne possède pas de singularités dans l'espace accessible du robot.  C.   Interprétation physique  i)   On   peut   observer   sur   l'équation   (23),   que   l'effet   des chaînes cinématiques sur la plate-forme équivaut à appliquer une force égale à   (   ) , xi   i   i   i H   q ,q   q       au point P. La force totale correspondante est égale à   (   ) , ∑   xi   i   i   i H   q ,q   q       . ii) Le membre à gauche de l'équation (21) représente les forces des actionneurs exprimées dans l'espace cartésien de la plate-forme. V.   M ODÈLE DYNAMIQUE DIRECT Le   modèle   dynamique   direct   exprime   les   accélérations cartésiennes de la plate-forme en fonction des positions et vitesses   de   la   plate-forme   et   les   forces   des   articulations motorisées. Il s'écrit :   (   ) 0   0   0 P   P   P V   = f   V ,   V ,   Γ          .
Les inconnues pour ce problème sont les 9 composantes des forces   de   réaction   au   point   P   sur   chaque   chaîne  [   ] T zi yi xi   f f f = i f   et les 3 composantes de l'accélération linéaire cartésienne de la plate-forme   0 p V    . Comme pour le modèle dynamique inverse, on a 9 équations obtenues à partir des modèles dynamiques inverses des chaînes et 3 équations provenant de la plate-forme. Le système est donc composé également de 12 inconnues et de 12 équations. Ce système d'équations sera résolu de façon séquentielle.  A.   Calcul de   0f   i   en utilisant le modèle dynamique de la chaîne i.  Les forces de réaction de la chaîne, relation (14), doivent être   exprimées   en   fonction   des   accélérations   linéaires cartésiennes de la plate-forme. En utilisant les relations (11) et (17) de façon à séparer les forces d'inerties des forces de Coriolis, centrifuges et gravités, on obtient :  (   )   [   ] ,  = −   −   +   Γ 0   0   -T   0   -T   0   -T i   i   i   i   i   i   i   i   p   i : i f   J   A q   J   h   q ,q   J       (24) En substituant l'équation (9) dans (24), on a :  (   )   [   ] ,  = −   +   −   +   Γ 0   0   0   0   -T i   xi   p   xi   i   i   xi   i   i   p   i : i f   A   V   A   J q   h   q ,q   J             (25) Où   =   0   -T   0   -1 xi   i   i   i A   J   A   J   est la matrice (3 × 3) d'inertie cartésienne de la chaîne i exprimée au point P i , et   0   -T xi   i   i h   = J   h   est la matrice (3 × 1) de Coriolis, centrifuge et gravité exprimée dans l'espace cartésien au point P i   [18,19]. En substituant l'équation (25) dans les équations de Newton- euler de la plate-forme, relation (18), on obtient :  [   ]   (   )  3   3 i   1   i   1 =   = ⎡   ⎤ = −   +   −   +   Γ ⎣   ⎦ ∑   ∑ 0   0   0   0   -T p   xi   p   xi   i   i   xi   i   i   P   robot F   A   V   A   J q   h   q ,q   J             (26) Ce qui s'écrit :  [   ]   (   )  3   3 P   P i   1   i   1 M   M  =   = ⎛   ⎞   ⎡   ⎤ +   +   −   −   =   Γ ⎜   ⎟   ⎣   ⎦ ⎝   ⎠ ∑   ∑ 0   0   0   -T xi   3   p   xi   i   i   xi   i   i   P   robot A   I   V   h   q ,q   A   J q   g   J          (27) Les accélérations cartésiennes de la plate-forme peuvent être calculées à partir de la relation suivante suivante :  (   ) − =   Γ   − 0   1   0   -T pi   robot   P   robot   robot V   A   J   h    (28) Avec :  [   ] T 11   12   13 = Γ   Γ   Γ robot Γ  [   ]  3 p i   1 M  = =   + ∑ robot   xi   3 A   A   I   (29)  (   )  3 p i   1 M  = ⎡   ⎤ =   −   − ⎣   ⎦ ∑   0 robot   xi   i   i   xi   i   i h   h   q ,q   A   J q   g        (30) Les accélérations articulaires   1i   2i   3i q , q   , q          (pour i = 1 à 3) des   trois   chaînes   cinématiques   peuvent   être   obtenues   en utilisant   le   modèle   cinématique   inverse   du   second   ordre (relation (9)). La matrice (3 × 3)   A   robot   correspond à la somme des matrices d'inerties spatiales des chaînes plus la matrice (3 × 3) diagonale dont les éléments sont égaux à M P . L'équation (28) représente le modèle dynamique direct du robot. Pour l'obtenir, on calcule les termes   A   i   et   h   i   de chaque chaîne : -   h   i   peut être obtenu en utilisant la formulation de Newton- Euler dans le modèle dynamique inverse de chaque chaîne en considérant les accélérations   i q    nulles :   (   ) ,   0 =   = i   i   i   i   i h   H   q ,q   q      [24,25]. -   A   i   peut être obtenu en utilisant la formulation de Newton- Euler [24,25] ou Lagrange [17]. Pour   réduire   les   coûts   de   calcul,   on   peut   utiliser   une méthode   de   calcul   symbolique   itératif   et   les   paramètres inertiels de base du robot pour   A   i   et   h   i   [25]. La relation (28) peut être aussi utiliser pour le calcul du modèle dynamique inverse, mais la relation (22) est plus efficace du point de vue coût de calcul.  B.   Interprétation physique  i) La contribution de chaque chaîne sur la matrice d'inertie spatiale du robot   A   robot   est due à la matrice (3 × 3) d'inertie cartésienne de la chaîne exprimée au point P. ii) La matrice (3 × 1)   xi h   représente les forces de Coriolis, centrifuges et gravité exprimées dans l'espace cartésien au point P. Les forces totales correspondantes sont données par  (   ) (   ) − ∑   0 xi   i   i   xi   i   i h   q ,q   A   J q        . VI.   C ONCLUSION Dans cet article, nous présentons une forme intéressante des modèles dynamiques inverse et direct du robot Orthoglide. En effet, ces modèles prennent en compte toute la dynamique du robot   sans   simplification   et   permettent   de   déduire   une interprétation   physique   du   modèle   dynamique   du   robot parallèle.   Cette   approche   pourra   être   utilisée   sur   d'autres structures parallèles. Ces   modèles   sont   obtenus   en   termes   des   éléments   du modèle   dynamique   cartésien   des   chaînes   cinématiques   du robot perçues aux points de connexions des chaînes avec la plate-forme. Par conséquent, on peut appliquer les techniques développées pour les robots séries, aux calculs de ces modèles. R ÉFÉRENCES [1]   Nguyen C.C., Pooran F.J., "Dynamic analysis of a 6 d.o.f. CKCM robot end-effector for dual-arm telerobot systems",   Robotics and Autonomous Systems, 1989, Vol. 5, p.377-394.  [2]   Ait-Ahmed   M.,   "Contribution   à   la   modélisation géométrique et dynamique des robots parallèles",   Thèse de doctorant, 1993, LAAS, Toulouse.  [3]   Bhattacharya S., Hatwal H., Ghosh A., "An on-line estimation scheme for generalized Stewart platform type parallel manipulators",   Mechanism and Machine Theory, Janvier 1997, Vol. 32(1), p.79-89.  [4]   Bhattacharya   S.,   Nenchev   D.N.,   Uchiyama   M.,   "A recursive formula for the inverse of the inertia matrix of a parallel manipulator",   Mechanism and Machine Theory, Octobre 1998, Vol. 33(7), p.957-964.  [5]   Liu M-J., Li C-X., Li C-N., "Dynamics analysis of the Gough-Stewart platform manipulator",   IEEE Transaction on Robotics and Automation, February 2000, Vol. 16(1), p.94-98.  [6]   Codourey A., Burdet E., "A body oriented method for finding a linear form of the dynamic equatiojns of fully parallel   robot",   In   IEEE   Int.   Conf.   on   Robotics   and Automation, Albuquerque, New Mexico, U.S., 21-28 Avril 1997, p.1612-1618.  [7]   Tsai L-W, "Solving the inverse dynamics of a Stewart- Gough manipulator by the principle of virtual work",  Journal of Mechanical design, March, 2000, Vol. 122, p.3-9.
[8]   Reboulet C., Berthomieu T., "Dynamic models of a six degree of freedom parallel manipulators",   ICAR, Pise, Italy, 19-22 juin 1991, p.1153-1157.  [9]   Gosselin C. M., "Parallel computationnal algorithms for the kinematics and dynamics of parallel manipulators",  IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, New York U.S., 1993, Vol.(1), p.883-889.  [10]   Dasgupta B., Mruthyunjaya T.S., "A Newton-Euler formulation   for   the   inverse   dynamics   of   the   Stewart platform manipulator",   Mechanism and Machine Theory, Novembre 1998, Vol. 33(8), p.1135-1152.  [11]   Dasgupta B., Choudhury P., "A general strategy based on   the   Newton-Euler   approach   for   the   dynamic formulation of parallel manipulators",   Mechanism and Machine Theory, Août 1999, Vol. 34(6), p.801-824.  [12]   Ji Z., "Study of the effect of leg inertia in Stewart platform",   In   IEEE   Int.   Conf.   on   Robotics   and Automation, Atlanta, 2-6 Mai 1993, p.121-126.  [13]   Khalil W., Guegan S., "A novel solution for the dynamic modeling of Gough-Stewart manipulators",   Proc. IEEE Conf. on Robotics and Automation, Washington D.C., May 2002.  [14]   Wenger P., Chablat D., "Kinematic analysis of a new parallel machine tool : the Orthoglide",   Advances in Robot Kinematic,   Kluwer   Academic   Publishers,   Juin   2000, p.305-314.  [15]   Khalil   W.,   Kleinfinger   J.-F.,   "A   new   geometric notation for open and closed-loop robots",   Proc. IEEE Conf. on Robotics and Automation, San Francisco, April 1986, p. 1174-1180.  [16]   Merlet   J.-P.,   "Parallel   robots",   Kluwer   Academic Publ., Dordrecht, The Netherland, 2000.  [17]   Khalil W., Dombre E., "Modélisation, identification et commande de robot " ,   2   ème   édition, Hermès,1999.  [18]   Lilly K.W., Orin D.E., "Efficient O(N) computation of the operational space inertia matrix",   Proc. IEEE Int. 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[23]   Khalil W., Kleinfinger J.-F., "Minimum operations and minimum parameters of the dynamic model of tree structure robots",   IEEE J. of Robotics and Automation ,  Vol. RA-3(6), December 1987, p. 517-526.  [24]   Walker   M.W.,   Orin   D.E.,   "Efficient   dynamic computer simulation of robotics mechanism",   Trans. of ASME,   J.   of   Dynamic   Systems,   Measurement,   and Control ,   Vol. 104, 1982, p. 205-211.  [25]   Khalil W.,   Creusot D., "SYMORO+: a system for the symbolic modelling of robots",   Robotica ,   Vol. 15, 1997, p. 153-161.  A   NNEXE  Calcul du modèle dynamique inverse de la chaîne i  Chaque chaîne du robot est composée d'une boucle planaire de type parallélogramme. On calcule le modèle dynamique de la structure arborescente équivalente en coupant l'articulation passive (q   8i ) du parallélogramme (figure 3) :  (   ) , Γ   = i   i ar   ar   i   i   i H   q ,q   q       (31) avec   [   ] T 1i   2i   3i   4i   5i   7i Γ   = Γ   Γ   Γ   Γ   Γ   Γ i ar  On calcule ensuite les équations de contrainte de fermeture de   boucle   pour   exprimer   les   variables   des   articulations passives en fonction des variables des articulations actives. La chaîne i étant isolée de la plate-forme, on considère dans un premier temps que les articulations q 1i , q   2i   et q   3i   sont actives. Dans le modèle complet du robot, on rappelle que seule q 1i   est motorisée et que l'on considère les couples   Γ 2i   et   Γ 3i   de valeurs nulles. Soit   i a q   le vecteur contenant les articulations actives et   i p q  le vecteur contenant les articulations passives :  [   ] T 1i   2i   3i q   q   q = i a q   (32)  [   ] T 4i   5i   7i q   q   q = i p q   (33) Les équations de fermeture de boucle sont les suivantes : 4i   3i 5i   2i 7i   3i 8i   3i q   q q   q   2 q   q q   q  = −   ⎫ ⎪ π ⎪ = −   −   ⎪ ⎬ ⎪ =   ⎪ = −   ⎪ ⎭  (34) Le modèle dynamique de la boucle fermée est obtenu à partir de   Γ   i ar   et des équations de contraintes en utilisant la relation suivante [17] :  [   ] T 1i   2i   3i Γ   = Γ   Γ   Γ   =   Γ   i T i   i   ar G   (35)  (   )   (   ) ,   , Γ =   = i T i   i   ar   i   i   i   i   i   i   i G H   q ,q   q   H   q ,q   q             (36) avec :   ∂  = ∂  i i ar i a q G   q   et   ⎡   ⎤ ⎣   ⎦ i   i   i ar   a   p q   =   q   q  En utilisant les équations (34), on obtient : 1   0   0   0   0   0 0   1   0   0   1   0 0   0   1   1   0   1  ⎡   ⎤ ⎢   ⎥ =   − ⎢   ⎥ ⎢   ⎥ − ⎣   ⎦  T G   (37)  (   ) , i   i   i   i H   q ,q   q       est   le   modèle   dynamique   de   la   chaîne   i. Lorsque l'on prend en compte la force de réaction   f   i   sur le point terminal de chaque chaîne, la forme générale du modèle dynamique de la chaîne i, devient :  (   ) , Γ =   +   0   T 0 i   i   i   i   i   i   i H   q ,q   q   J   f       (38)