Assises MUGV  
Nantes, 5-6 juin 2008 
 
1 
 
 
ANALYSE DE LA RIGIDITÉ DES MACHINES OUTILS 3 AXES 
D'ARCHITECTURE PARALLÈLE HYPERSTATIQUE 
 
Anatol Pashkevich, Damien Chablat, Philippe Wenger  
Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 
1 rue de la Noë, 44321 Nantes 
{Anatol.Pashkevich, Damien.Chablat, Philippe.Wenger}@irccyn.ec-nantes.fr 
 
Résumé : Cet article présente une nouvelle méthode pour modéliser la rigidité des machines outils à structure 
parallèle basée sur une modélisation de la machine par des corps rigides et des flexibilités localisées. Nous 
ajoutons des articulations virtuelles au modèle rigide, qui décrivent les déformations élastiques des composants 
du mécanisme (membrures, articulations et actionneurs). Cette approche provient des travaux de Clément 
Gosselin, qui a évalué la rigidité des mécanismes parallèles, en tenant compte uniquement des actionneurs et qui 
les a modélisés comme des ressorts linéaires unidimensionnels (les membrures étaient supposées rigides, et les 
articulations passives parfaites). Contrairement aux études précédentes, notre méthode peut s'appliquer aux 
mécanismes hyperstatiques et l'évaluation des flexibilités localisées est réalisée en utilisant une modélisation par 
éléments finis.  
Mots clés : Machines outils, rigidité, flexibilités localisées 
Abstract: The paper presents a new stiffness modelling method for overconstrained parallel manipulators, which 
is applied to 3-d.o.f. translational mechanisms. It is based on a multidimensional lumped-parameter model that 
replaces the link flexibility by localized 6-d.o.f. virtual springs. In contrast to other works, the method includes a 
FEA-based link stiffness evaluation and employs a new solution strategy of the kinetostatic equations, which 
allows computing the stiffness matrix for the overconstrained architectures and for the singular manipulator 
postures. The advantages of the developed technique are confirmed by application examples, which deal with 
comparative stiffness analysis of two translational parallel manipulators. 
Keywords: Parallel manipulators, stiffness analysis, and virtual springs.  
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2 
 
1 Introduction  
Comparativement aux manipulateurs sériels, les manipulateurs parallèles (MP) sont 
réputés pour avoir un meilleur rapport rigidité/poids et une meilleure précision. Cette 
caractéristique les rend attrayants pour la conception de nouvelles machines-outils pour 
l'usinage à grande vitesse [1, 2, 3]. Quand un manipulateur parallèle est utilisé comme 
machine outil, la rigidité devient une contrainte très importante lors de sa conception [4, 5, 6, 
7]. Cet article présente une méthode générale pour évaluer la rigidité des manipulateurs à trois 
degrés de liberté hyperstatique produisant des mouvements de translation pure. Généralement, 
l'analyse de la rigidité est basée sur une modélisation cinétostatique [8], qui propose une carte 
de la rigidité en prenant en compte la rigidité des articulations motorisées. Cependant, cette 
méthode n'est pas appropriée pour les MP, dont les jambes sont soumises à la flexion [9]. 
Trois modèles existent qui permettent de prendre en compte la complaisance d'une MP 
afin d'analyser son comportement flexible : les méthodes par éléments finis (MEF) [10], 
modélisation avec membrures rigides (MMR) [11], et modélisation rigide avec flexibilités 
localisées (MRFL) [8 ]. Cette dernière méthode est basée sur l'expansion du modèle 
traditionnel rigide en ajoutant les articulations virtuelles, qui décrivent les déformations 
élastiques des composants du mécanisme (membrures, articulations et actionneurs). Cette 
approche provient des travaux de Gosselin [8], qui a évalué la rigidité des mécanismes 
parallèles, en tenant compte uniquement des actionneurs et qui les a modélisés comme des 
ressorts linéaires unidimensionnels (les membrures étaient supposées rigides, et les 
articulations passives parfaites). Ces hypothèses ont permis de réduire l’analyse de la rigidité 
d’un mécanisme à l’analyse de sa matrice jacobienne. Une évolution de ce modèle, tenant 
compte des flexibilités dans les membrures a été présentée dans [10] en utilisant des corps 
rigides et des flexibilités par des ressorts en torsion ou en flexion. Généralement, cette 
modélisation fournit une précision suffisante et les temps de calcul sont courts. On peut donc 
l’utiliser en phase de conception préliminaire, en particulier pour les analyses paramétriques. 
Cependant, nous verrons que des hypothèses de simplification qui ne prennent pas en compte 
le couplage entre la translation et de rotation peuvent aboutir à d’importantes erreurs. De plus, 
il existe également d'autres restrictions, qui limitent ses applications à l'absence de 
mécanismes hyperstatiques. 
Dans le paragraphe suivant, nous présentons une méthode générale pour déduire la modèle 
cinématique et le modèle de raideur. Le paragraphe 3 décrit les matrices de complaisance de 
chaque élément et leur assemblage pour déterminer la rigidité globale du mécanisme. 
Finalement, dans le paragraphe 4, nous appliquons notre méthode sur deux exemples. 
2 Méthodologie 
2.1 Architecture des manipulateurs étudiés  
Soit un manipulateur parallèle général à 3 degrés de liberté en translation, possédant une 
plate-forme mobile connectée à une base fixe par trois chaînes cinématiques identiques 
(Fig. 1).  
 
Base 
Ps
Ps
Ps
Ps
Ps
Ps
Ac
Mobile platform
Ps
Ps
Ps
Ps
Ps
Ps
Ac
Ps
Ps
Ps
Ps
Ps
Ps
Ac
L 
L 
L 
F
F
F
 
Fig. 1. Schéma d'ordre général d'un manipulateur parallèle à 3-ddl de translation  
(Ac – articulation motorisée, Ps – articulation passive, F - pied, L – jambe) 
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3 
 
Chaque jambe comprend une articulation motorisée "Ac" (prismatique ou rotoïde), suivi 
d'un pied et d'une jambe possédant un certain nombre d'articulation passive "P". Des 
conditions géométriques existent sur les articulations passivent pour permettre d'éliminer les 
mouvements de rotation de la plate-forme et d'assurer ainsi la stabilité de ses mouvements en 
translation. Nous présentons trois exemples de ces manipulateurs : 
• le robot 3-PUU (Figure 2a), où chaque jambe est composée d'une tige terminée par deux 
cardans (avec des conditions de parallélismes entre les axes des cardans), et des 
articulations prismatiques motorisées [13] ; 
• le robot Delta (Figure 2b), qui est une architecture de type 3-RRPaR avec un 
parallélogramme dans chaque jambe et des articulations rotoïdes [14] ; 
• le robot parallèle Orthoglide (Fig 2c), qui est une architecture de type 3-PRPaR avec un 
parallélogramme dans chaque jambe et des articulations prismatique motorisées [10].  
Les lettres R, P, U et Pa représentent les articulations rotoïdes, prismatiques, les cardans et 
les parallélogrammes, respectivement. Les exemples (b) et (c) illustrent des mécanismes 
hyperstatiques, où certaines contraintes cinématiques sont redondantes, mais n'affectent pas le 
nombre de degrés de liberté. Cependant, la plupart de ces méthodes d'analyse de la rigidité 
des manipulateurs parallèles ne s'applique qu'à des manipulateurs isostatique [8].  
(a) Robot 3-PUU [13] 
(b) Robot Delta[14] 
(c) Robot Orthoglide [10] 
 
 
Fig. 2. Exemples de manipulateur parallèle à 3 ddl  
2.2 Hypothèses de base  
Pour évaluer la rigidité d'un manipulateur, nous appliquons une petite modification à la 
méthode des travaux virtuelle (MTV), qui est basée sur la méthode des flexibilités localisées 
[8, 10]. Selon cette approche, le modèle rigide de départ est modifié en ajoutant des 
articulations virtuelles, qui décrivent les déformations élastiques des corps rigides. De plus, 
des ressorts virtuels sont inclus dans les articulations motorisées pour tenir compte de la 
rigidité de la boucle de contrôle. Pour surmonter les difficultés de modélisation des 
parallélogrammes, nous allons dans un premier temps les remplacer (voir Fig. 2) par des corps 
rigides dont la rigidité dépend de la configuration. Cette modification transforme l'architecture 
générale en un mécanisme 3-xUU et nous permet ainsi d'étudier plusieurs manipulateurs de 
cette famille. Avec cette hypothèse, chaque chaîne cinématique du manipulateur peut être 
décrite par une structure sérielle (Fig. 3), qui comprend successivement: 
 
Ac
Effecteur
 
(rigide)  
Base 
 
(rigide)
U
U
ressort 
à 1 ddl
ressort 
à 6 ddl
ressort 
à 6 ddl
 
Fig. 3. Modèle flexible d'une seule chaîne cinématique 
• un corps rigide entre la base fixe du manipulateur et la ième articulation motorisée décrite 
par une matrice de transformation homogène constante 
i
base
T
 ; 
• une articulation motorisée avec un degré de liberté avec flexibilité localisée, qui est 
décrite par une matrice homogène 
0
0
(
)
i
i
a q
θ
+
V
 où 
0
iq  sont les coordonnées des actionneurs 
et 
0
i
θ  les coordonnées de l'articulation virtuelle ; 
• un corps rigide, le pied, reliant les actionneurs de la jambe et la jambe, qui est décrite par 
une matrice de transformation homogène constante 
foot
T
 ; 
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4 
 
• une articulation virtuelle à 6 degrés de liberté définissant trois mouvement de translation 
et de rotations, qui sont décrits en fonction d'une matrice homogène 
1
6
(
,
)
i
i
s θ
θ
V
K
, où 
1
2
3
{
,
,
}
i
i
i
θ
θ
θ
 et 
4
5
6
{
,
,
}
i
i
i
θ
θ
θ
 correspondent aux translations et rotations élémentaires, 
respectivement ; 
• une articulation passive de type cardan à 2 degrés de liberté placée à l'origine de la jambe 
permettant deux rotations d'angles 
1
2
{ ,
}
i
i
q q
, qui est décrite par la matrice de 
transformation homogène 
1
1
2
(
,
)
i
i
u q q
V
 ; 
• un corps rigide, la jambe, reliant le pied de la plate-forme mobile, qui est décrite par la 
matrice de transformation constante homogène 
leg
T  ; 
• une articulation virtuelle à 6 degrés de liberté définissant trois translations et trois 
rotations de la flexibilité localisée, qui sont décrits en fonction de la matrice homogène 
7
12
(
,
)
i
i
s θ
θ
V
K
, où 
7
8
9
{
,
,
}
i
i
i
θ
θ
θ
 et 
10
12
12
{
,
,
}
i
i
i
θ
θ
θ
 correspondent aux translations et aux 
rotations élémentaires, respectivement ; 
• une articulation passive de type cardan à 2 degrés de liberté placée à l'extrémité de la 
jambe permettant deux rotations d'angles 
3
4
{
,
}
i
i
q
q
, qui est décrite par la matrice de 
transformation homogène 
2
3
4
(
,
)
i
i
u
q
q
V
 ; 
• d'un lien rigide entre la jambe et l'effecteur (partie de la plate-forme mobile) décrite par la 
matrice de transformation homogène constante 
i
tool
T
 ;  
La position de l'effecteur est soumise aux variations de toutes les coordonnées d'une seule 
chaîne cinématique qui peut être écrite de la manière suivante : 
0
0
1
6
1
1
2
7
12
2
3
4
(
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
base
a
foot
s
u
leg
s
u
tool
q
q q
q
q
θ
θ
θ
θ
θ
=
+
⋅
T
T
V
T
V
V
T V
V
T
K
K
 
(1) 
où la matrice 
(.)
a
V
 est soit une fonction élémentaire de rotations ou de translations, les 
matrices 
1(.)
u
V
 et 
2(.)
u
V
sont des composantes de deux rotations successives, et la matrice 
(.)
s
V
 est composée de six transformations élémentaires. Dans le cas de corps rigides, les 
coordonnées des articulations virtuelles sont égales à zéro, tandis que les autres angles (actifs 
ou passives) sont obtenus en utilisant le modèle géométrique inverse. Des expressions 
particulières de tous les composants du produit (1) peuvent être facilement obtenues à l'aide 
des techniques standards utilisés pour définir les matrices de transformation homogènes. Il 
convient de noter que le modèle cinématique (1) comprend 18 variables (1 pour l'articulation 
active et, 4 pour les articulations passive, et 13 pour les ressorts virtuels). Toutefois, certaines 
flexibilités localisées sont redondantes, car elles sont compensées par des articulations 
passives correspondant à l'alignement des axes ou par combinaison d'articulations passives. 
Néanmoins, il n'est pas nécessaire de les détecter ni de les supprimer pour permettre notre 
analyse, parce que notre technique permet facilement et efficacement d'éliminer cette 
redondance. 
2.3 Modèle cinématique 
Pour évaluer les capacités du manipulateur pour répondre aux forces et aux couples 
extérieurs, nous écrivons les équations différentielles qui décrivent les relations entre la 
position de l'effecteur et les petites variations des articulations. Pour chaque ième chaîne 
cinématique, cette équation peut être généralisée comme suit  
,
1,2,3
i
i
i
i
q
i
i
θ
δ
=
⋅δ
+
⋅δ
=
t
J
θ
J
q
 
(2) 
où 
le 
vecteur 
δ
(δ
, δ
, δ
, δ
, δ
, δ
)T
i
xi
yi
zi
xi
yi
zi
p
p
p
ϕ
ϕ
ϕ
=
t
 
décrit 
la 
translation 
δ
(δ
, δ
, δ
)T
i
xi
yi
zi
p
p
p
=
p
 et la rotation δ
(δ
, δ
, δ
)T
i
xi
yi
zi
ϕ
ϕ
ϕ
=
ϕ
 de l'effecteur dans le repère 
cartésien; le vecteur 
0
12
(
,
)
i
i
T
i
θ
θ
δ
= δ
δ
θ
K
 comprend toutes les coordonnées des articulations 
virtuelles, le vecteur 
1
4
(
,
)
i
i
T
i
q
q
δ
= δ
δ
q
K
 comprend toutes les coordonnées des articulations 
passives, le symbole ' 'δ  représente les variations par rapport au cas rigide, 
ι
θ
J  et 
q
ιJ  sont des 
matrices de tailles 6×13 et 6×4 respectivement. Il convient de noter que la dérivée des 
coordonnées articulaires motorisées 
0
i
q  n'est pas inclus dans 
q
ιJ  mais elle est représentée dans 
la première colonne de 
ι
θ
J  à travers la variable 
0
iθ . Les matrices 
ι
θ
J , 
q
ιJ , qui sont les seuls 
paramètres de l'équation différentielle (2), peuvent être calculées à partir de l'équation (1) de 
manière analytique en utilisant un logiciel de calcul formel comme Maple, MathCAD ou 
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5 
 
Mathematica. Toutefois, une simple différenciation de ces expressions donne des expressions 
complexes à manipuler pour des calculs supplémentaires. D'autre part, la décomposition de 
(1), où toutes les variables sont séparées, nous permet d'appliquer des méthodes de 
décomposition semi-analytique. Pour présenter cette technique, nous supposons que les 
articulations virtuelles 
0
iθ , le modèle (1) peut être réécrit par, 
1
2
(
)
i
i
ij
j
j
ij
θ
=
⋅
θ
⋅
T
H
V
H  
(3) 
où la première et la troisième matrices sont des matrices de homogènes constantes, et le 
second est une matrice de transformation homogène comprenant des translations et de 
rotations élémentaires. Ensuite, les dérivées partielles de la matrice homogène 
iT  pour les 
variables 
i
jθ  pour 
0
i
j
θ =
 peuvent être calculées à partir d'un produit similaire où le terme 
(.)
j
θ′
V
 est remplacé par son expression analytique. En particulier, pour les translations et les 
rotations élémentaires autour de l'axe X, ces matrices peuvent s'écrire : 
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
x
Tran
⎡
⎤
⎢
⎥
′
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
V
;   
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
x
Rot
⎡
⎤
⎢
⎥
=
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
V
. 
(4)  
En outre, à partir de la dérivation de la matrice homogène, 
1
2
(
)
i
i
ij
j
j
ij
θ
′
′
=
⋅
θ
⋅
T
H
V
H  peut être 
présentées par  
0
0
0
0
0
0
0
iz
iy
ix
iz
ix
iy
i
iy
ix
iz
p
p
p
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
′
′
′
−
⎡
⎤
′
′
′
⎢
⎥
−
′ = ⎢
⎥
′
′
′
−
⎢
⎥
⎣
⎦
T
 
(5) 
Alors la jème colonne de 
ι
θ
J  peut être extraite à partir de 
i′
T  (en utilisant les éléments des 
matrices 
14
T′ , 
24
T′ , 
34
T′ ,
23
T′ , 
31
T′ , 
12
T′ ). Les matrices jacobiennes 
q
ιJ  peuvent être calculée de la 
même manière, mais elles sont évaluées au voisinage de leurs position nominales 
i
jnom
q
 qui 
correspond au cas rigide (ces valeurs sont fournies par le modèle cinématique inverse). 
Toutefois, 
la 
simple 
transformation 
i
i
i
j
j
j
nom
q
q
q
δ
=
+
 
et 
la 
factorisation 
de 
(
)
(
)
(
)
i
i
i
q j
j
q j
j
q j
j
nom
q
q
q
δ
=
⋅
V
V
V
 permettent l'application de l'approche ci-dessus. Il convient 
également de mentionner que cette technique peut être utilisée dans des calculs analytiques et 
permet d'éviter des équations volumineuses produites par une simple différenciation 
automatique. 
2.4 Modélisation de la rigidité d'un manipulateur 
Pour le modèle de rigidité, qui décrit la relation entre les efforts et le déplacement, il est 
nécessaire d'introduire de nouvelles équations qui définissent les réactions des articulations 
virtuelles aux déformations des flexibilités localisées. Conformément à notre modèle de 
raideur, trois types de flexibilités localisées sont inclus dans chaque chaîne cinématique : 
• une flexibilité localisée à 1-ddl décrivant la complaisance de l'actionneur ;  
• une flexibilité localisée à 6-ddl décrivant la complaisance du pied ; 
• une flexibilité localisée à 6-ddl décrivant la complaisance de la jambe. 
En supposant que les déformations des flexibilités localisées sont petites, les relations peuvent 
être exprimées par des équations linéaires. 
0
i
i
act
K
τ θ0
⎡
⎤
⎡
⎤
=
θ
⎣
⎦
⎣
⎦; 
1
6
i
i
Foot
i
i
τ
τ
θ1
θ6
⎡
⎤
θ
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
θ
⎣
⎦
⎣
⎦
K
M
M
; 
7
12
i
i
Leg
i
i
τ
τ
θ7
θ12
⎡
⎤
θ
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
θ
⎣
⎦
⎣
⎦
K
M
M
 
(6)  
où 
i
j
τθ  est la force généralisée de la jème articulation virtuelle de la ième chaîne cinématique, 
act
K
 est la raideur de l'actionneur, et 
Foot
K
, 
Leg
K
sont des matrices de raideur de dimensions 
6×6 associées aux jambes et aux pieds respectivement. Il convient de souligner que, 
contrairement à d'autres études, ces matrices sont supposées être non-diagonales. Cela nous 
permet de prendre en compte les couplages entre les déformations angulaires et de 
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6 
 
translations, qui sont souvent ignorées [8]. Pour facilité l'analyse, les expressions (6) peuvent 
être regroupées dans une seule matrice sous la forme, 
θ
,
1,2,3
i
i
i
θ =
⋅δ
=
τ
K
θ
  
(7) 
où 
0
12
(
,
)
i
i
i
T
τ
τ
θ
θ
θ
=
τ
K
 est le vecteur regroupant les réactions des articulations virtuelles, et 
diag(
,
,
)
act
Foot
Leg
K
=
θ
K
K
K
 est la matrice de rigidité des flexibilités localisées de dimension 
13×13. De la même manière, on peut définir le vecteur regroupant les réactions des 
articulations passives 
1
4
(
,
)
i
i
i
T
q
q
q
τ
τ
=
τ
K
, mais tous ses éléments doivent être égaux à zéro : 
,
1,2,3
i
q
i
=
=
τ
0
 
(8) 
Pour trouver les équations correspondant au déplacement de l'effecteur 
i
δt , nous appliquons 
le principe des travaux virtuels en supposant que les déplacement des articulations sont petites 
et que ces déplacements (
,
)
i
i
Δ
Δ
θ
q  sont autour de la position d'équilibre. Ensuite, le travail 
virtuel de la force extérieure 
if  appliquée sur l'effecteur 
i
i
i
i
q
i
θ
Δ
=
⋅Δ
+
⋅Δ
t
J
θ
J
q  est égale à la 
somme (
)
(
)
T
i
T
i
i
i
i
q
i
θ ⋅Δ
+
⋅Δ
f J
θ
f J
q . Pour les forces internes, le travail virtuel est 
θ
Ti
i
−
⋅Δ
τ
θ  
puisque les articulations passives ne produisent pas la force ni de couples résistants (le signe 
moins prend en compte les orientations adoptées pour la définition des flexibilités localisées). 
Par conséquent, pour avoir un équilibre statique, les travaux virtuels doivent être égaux à zéro 
pour les articulations virtuel. Les conditions d'équilibre peuvent alors s'écrire  
Ti
i
i
θ
θ
⋅
=
J
f
τ ;     
Ti
q
i
⋅
=
J
f
0 . 
(9) 
Cela donne d'autres expressions décrivant la transformation des forces et des couples entre les 
articulations et l'effecteur. Ainsi, le modèle cinétostatique complet se compose de cinq 
matrices (2), (7)…(9) où 
if  et 
i
δt  sont considérés comme connus, et les autres variables sont 
considérées comme inconnues. De toute évidence, puisque les chaînes cinématiques sont 
distinctes et possèdent certains degrés de liberté, ce système ne peut pas être résolu 
uniquement en connaissant 
if . Cependant, pour un déplacement donné de l'effecteur 
i
δt , il est 
possible de calculer les forces externes correspondants 
if  et de les variables internes 
i
δθ , 
i
θ
τ , 
i
δq  (c'est-à-dire les déplacements de flexibilités localisées et les déplacements des 
articulations passive). Comme cette matrice est non singulière, 
i
δθ  peut être exprimée à partir 
de 
if  à l'aide des équations 
θ
i
i
θ =
⋅δ
τ
K
θ  et 
Ti
i
i
θ
θ
⋅
=
J
f
τ . Cela nous permet de réduire notre 
système à cette équation 
1
θ
(
)
T
i
i
i
i
q
i
i
−
θ
θ ⋅
+
⋅δ
= δ
J K
J
f
J
q
t ;     
Ti
q
i
⋅
=
J
f
0  
(10) 
avec les inconnues 
if  et 
i
Δq . Ce système peut également être réécrit sous forme de matrice  
θ
i
i
q
i
i
T
i
i
q
⎡
⎤
δ
⎡
⎤
⎡
⎤
⋅
=
⎢
⎥
δ
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
S
J
f
t
q
0
J
0
 
(11) 
où 
1
θ
θ
T
i
i
i
−
θ
θ
=
S
J K
J  décrit le complaisance par rapport à l'effecteur, et 
i
q
J  tient compte des 
articulations passives sur le mouvement de l'effecteur. Par conséquent, pour une chaîne 
cinématique, la matrice de raideur 
i
K  définissant la relation entre les efforts extérieurs et les 
déplacements de l'effecteur est  
i
i
i
=
⋅δ
f
K
t  
(12) 
Cette matrice peut être calculée en inversion la matrice de dimension 10×10 en extrayant une 
sous-matrice de dimension 6×6 qui correspondant à 
θ
iS . Il est également important de 
mentionner que notre méthode ne nécessite que l'inversion d'une 6×6 puise que 
1
1
1
1
diag(
,
,
)
act
Foot
Leg
K
−
−
−
−
θ =
K
K
K
.  
Dans le cas général c'est-à-dire pour tout 
i
θ
J  et 
i
q
J , il n'est pas possible de prouver que 
l'équation (11) est inversible. De plus, si 
i
q
J  est singulière, les coordonnées des articulations 
passives 
iq  ne sont pas uniques. D'un point de vue physique, cela signifie que si la chaîne 
cinématique est située dans une posture singulière, certains déplacements peuvent être générés 
par un déplacement infinitésimal des articulations passives. Mais pour un effort donné 
if , la 
solution correspondante est unique (puisque 
i
θ
J  est non singulière s'il existe au moins une 
flexibilité localisée dans une chaîne cinématique). D'autre part, une configuration singulière 
peut être associée à une infinité de matrices de raideur pour la même localisation de l'effecteur 
Assises MUGV  
Nantes, 5-6 juin 2008 
 
7 
 
et pour différentes 
iq  calculés par le modèle géométrique inverse. Pour résoudre ce problème 
nous avons programmé une méthode basée sur une décomposition en valeurs singulières. 
Lorsque la matrice de raideur de chaque jambe 
i
K  a été évaluée, nous obtenons la matrice de 
raideur du manipulateur par une simple addition  
3
1
i
m
i
=
= ∑
K
K  
(13) 
Ceci découle du principe de superposition, parce que la force extérieure totale correspondant 
au déplacement de l'effecteur δt  (la même pour toutes les chaînes cinématiques) peut être 
exprimé sous la forme 
3
1
i
i
=
= ∑
f
f  avec 
i
i
=
⋅δ
f
K
t .  
Il convient de souligner que la matrice résultant n'est pas inversible, puisque certains 
mouvements de l'effecteur ne produisent pas les réactions sur les flexibilités localisées (à 
cause de l'influence des articulations passives). Cependant, pour l'ensemble de manipulateur, 
la matrice de raideur est définie positive et inversible pour toutes les postures non singulières.  
3 Définitions des éléments complaisants 
Pour chaque jambe, notre modèle de rigidité comprend trois éléments, qui sont décrits par une 
flexibilité localisée à 1ddl et deux autres à 6-ddl qui correspondes à la complaisances de 
l'actionneur, du pied et de la jambe (voir Fig. 3). Nous allons maintenant décrire une méthode 
pour évaluer les matrices de complaisance. 
3.1 Complaisance des actionneurs  
La complaisance de l'actionneur est un scalaire qui dépend de la mécanique et de la boucle 
d'asservissement. Comme la plupart des actionneurs sont commandés par un PID numérique, 
la principale source d'erreur est liée à la transmission mécanique qui souvent en dehors de la 
boucle de contrôle (vis à billes, engrenages, courroies, ...) dont la complaisance est 
comparable à la complaisance des autres éléments du manipulateur. En raison de la 
complexité de la structure mécanique des servomoteurs, ce paramètre est souvent évalué à 
partir des expériences en statique. 
3.2 Complaisance des membrures 
Dans notre étude, la complaisance des membrures ou son inverse, la rigidité, est définie par 
une matrice symétrique définie positive de dimension 6×6 correspondant à une flexibilité 
localisée à 6-ddl avec un couplage entre les déformations de translation et de rotation. Le 
moyen le plus simple pour obtenir ces matrices est de les assimiler à des poutres pour lesquels 
les éléments non-nul de la matrice de raideur sont :  
11
L
k
EA
=
;
3
22
3
z
L
k
EI
=
;
3
33
3
y
L
k
EI
=
;
44
L
k
GJ
=
;
55
y
L
k
EI
=
;
66
z
L
k
EI
=
;
2
35
2
y
L
k
EI
=−
;
2
26
2
z
L
k
EI
=
 (14) 
avec L la longueur de la poutre, A sa surface de la section transversale, Iy, Iz et J sont les 
inerties quadratiques et polaire de la section transversale, et E et G sont les modules d'Young 
et de Coulomb, respectivement. Cependant, pour certaines géométries complexes des 
membrures, une simple approximation par une poutre n'est pas suffisante. Dans ce cas, nous 
pouvons assimiler une membrure à une série de poutres assemblées en série par encastrement 
et à utiliser la matrice de rigidité résultante. 
3.3 Complaisance des membrures évaluée par une modélisation par éléments finis 
Pour des membrures possédant une forme complexes, des résultats plus précis peuvent être 
obtenus en utilisant une modélisation par éléments finis. Pour appliquer cette approche, nous 
ajoutons au modèle CAO de chaque membrure, une pièce de référence "pseudo-rigide", qui 
est utilisé comme référence pour l'évaluation de la complaisance et l'origine de chaque 
membrure est fixe. Puis, en appliquant des efforts et des couples unitaires sur la pièce de 
référence, il est possible d'évaluer les déplacements angulaires et linéaires, ce qui permet 
l'évaluation des colonnes de la matrice de rigidité. La principale difficulté ici est d'obtenir les 
Assises MUGV  
Nantes, 5-6 juin 2008 
 
8 
 
valeurs exactes des déplacements en utilisant un bon maillage. De plus, pour accroître la 
précision, les déplacements doivent être évalués en utilisant des données redondantes qui 
décrivent le déplacement du corps de référence. C'est pour cela que nous une décomposition 
en valeur singulière. À partir de notre étude, nous avons constaté qu'une approximation du 
pied par une seule poutre donne une précision de 50%, et les quatre poutres améliore jusqu'à 
30% seulement. Cependant, bien que la méthode basée sur des éléments finis soit la plus 
précise elle est aussi la coûteuse en temps de calcul. Toutefois, contrairement à une simple 
modélisation par élément finis de l'ensemble du manipulateur, qui exige un nouveau maillage 
des conditions aux limites à chaque fois que nous changeons de posture, notre méthode ne 
demande qu'un calcul d'évaluation de la raideur des membrures. 
4 Exemples d'application 
Pour démontrer l'efficacité de notre méthode, nous allons l'appliquer pour comparer la rigidité  
de deux mécanismes à 3ddl basés sur l'architecture de l'Orthoglide. Les modèles CAO de ces 
mécanismes sont représentés dans la Fig. 4. 
x
z
y
B1
P
A1
C1
A2
C2
A3
C3
B3
 
B1
i1
P
x
z
y
j1
A1
C1
A2
B2
C2
A3
C3
B3
 
x
z
y
Q2
Q1
 
(a) Orthoglide avec des 
cardans 
(b) Orthoglide avec des 
parallélogrammes 
(c) Points critiques Q1 et Q2 
de l'espace de travail 
Fig. 4. Cinématique de 2 mécanismes basés sur l'Orthoglide 
4.1 Rigidité de l'Orthoglide avec des cardans  
Nous écrivons un modèle de rigidité simplifiée de l'Orthoglide où les jambes sont de type 
PUU c'est-à-dire avec deux cardans. Cependant, pour conserver les propriétés de l'Orthoglide, 
la section de la membrure entre les deux cardans est doublée pour être équivalent aux bars des 
parallélogrammes. En faisant l'hypothèse que l'origine de notre système de coordonnée est 
situé sur le repère de l'effecteur lorsque le manipulateur est en posture isotrope (quand les 
jambes sont mutuellement perpendiculaires et parallèles aux axes de prismatiques). Avec cette 
hypothèse, les modèles géométriques de différentes chaînes cinématiques peuvent être décrit 
par l'expression (1), où 
{ , , }
i
x y z
∈
 et les différentes matrices sont définies par les opérateurs 
de translation et de rotation 
(.),
(.),
(.)
x
y
z
T
T
R
K
 suivants :  
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
x
base
L r
−−
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
T
 
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
x
tool
r
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
T
 
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
y
base
L r
⎡
⎤
⎢
⎥
−−
⎢
⎥
=⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
T
 
(15) 
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
y
tool
r
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
T
 
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
z
base
L r
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=⎢
⎥
−−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
T
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
z
base
r
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
T
 
(16) 
0
0
0
0
(
)
(
)
a
x
q
q
+ θ
=
+ θ
V
T
;  
Foot =
T
I ;   
( )
leg
x L
=
T
T
;  
(17) 
1
6
1
2
3
4
5
6
(
,...
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
s
x
y
z
x
y
z
θ
θ
=
θ
θ
θ
θ
θ
θ
V
T
T
T
R
R
R
 
(18) 
1
1
2
1
2
(
,
)
(
)
(
)
u
z
y
q q
q
q
=
V
R
R
; 
2
3
4
3
4
(
,
)
(
)
(
)
u
y
z
q q
q
q
=
V
R
R
 
(19) 
Assises MUGV  
Nantes, 5-6 juin 2008 
 
9 
 
Avec L et r sont les paramètres géométriques du manipulateur (longueur de la jambe et 
décalage de l'effecteur respectivement), et les autres variables sont les mêmes que dans 
l'équation (1). Comme dans le cas d'un manipulateur rigide, l'effecteur produit uniquement 
des mouvements de translation, les articulations passives sont soumis à des contraintes 
spécifiques 
3
2
4
1
;
q
q
q
q
= −
= −
, qui sont implicitement utilisées dans le calcul du modèle 
géométrique direct et inverse. Toutefois, le modèle flexible permet des variations de toutes les 
articulations passives. En utilisant la modélisation de la raideur des membrures calculée avec 
les éléments finis et en appliquant notre méthode, nous avons calculé les matrices de raideur 
pour trois postures typiques du manipulateur et les résultats sont dans le tableau 1. On les 
compare ensuite avec un manipulateur avec des parallélogrammes. 
4.2 Rigidité de l'Orthoglide avec des parallélogrammes 
Avant d'évaluer la complaisance de manipulateur, nous devons évaluer la matrice de raideur 
des parallélogrammes. En utilisant les notations adoptées, nous pouvons écrire le modèle 
équivalent d'un parallélogramme  
2
2
7
12
(
)
( )
(
)
(
,
)
Plg
y
x
y
s
q
L
q
θ
θ
=
⋅
⋅
−
⋅
T
R
T
R
V
K
 
(20) 
Où, par rapport au cas précédent, la troisième articulation passive est éliminé (il est 
implicitement admis que 
3
2
q
q
= −
). D'autre part, chaque parallélogramme peut être divisé en 
deux chaînes cinématiques sérielles (le «haut» et le «bas»)  
1
1
6
2
(
/2)
(
)
( )
(
,
) 
(
)
( /2)
up
up
up
up
haut
z
y
x
s
y
z
d
q
q
L
q
q
d
θ
θ
=
−
⋅
+ Δ
⋅
⋅
⋅
−+ Δ
⋅
T
T
R
T
V
R
T
K
 
(21) 
1
1
6
2
( /2)
(
)
( )
(
,
) 
(
)
(
/2)
dn
dn
dn
dn
bas
z
y
x
s
y
z
d
q
q
L
q
q
d
θ
θ
=
⋅
+ Δ
⋅
⋅
⋅
−+ Δ
⋅
−
T
T
R
T
V
R
T
K
 
(22) 
Où L, d sont les paramètres géométriques des parallélogrammes, 
1
2
,
,
{
,
}
i
i
q
q
i
up dn
Δ
Δ
∈
 sont 
les variations des articulations passives. Ainsi, les matrices de complaisance du 
parallélogramme peuvent être également obtenues à l'aide de notre technique qui donne une 
expression analytique, 
11
22
26
2
2
2
22
2
22
44
2
2
11
2
2
2
2
22
22
26
66
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
4
8
0
0
0
0
0
4
0
0
0
8
4
q
q
Plg
q
q
q
K
K
K
d C K
d S K
K
d C K
d S K
d S K
K
K
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
+
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
K
 avec 
cos( );
sin( )
q
q
C
q
S
q
=
=
 
En utilisant ce modèle et en appliquant la technique proposée, on a calculé les matrices de 
rigidité pour trois postures particulières du manipulateur (voir tableau 1). Comme pour la 
comparaison avec l'utilisation des cardans, les parallélogrammes augment la raideur en torsion 
d'environ 10 fois. Cela justifie l'utilisation de cette architecture dans la conception du 
prototype de l'Orthoglide [15]. 
TYPE D'ARCHITECTURE 
POINT Q0 ( , ,
0.00
x y z
mm
=
) 
POINT Q1 ( , ,
73.65
x y z
mm
= −
) 
POINT Q2 ( , ,
126.35
x y z
mm
= +
) 
tran
k
 [MM/N] 
rot
k
 [RAD/N.MM]
tran
k
 [MM/N] 
rot
k
 [RAD/N.MM] 
tran
k
 [MM/N] 
rot
k
 [RAD/N.MM] 
MANIPULATEUR 3-PUU  
2.78⋅10-4 
20.9⋅10-7 
10.9⋅10-4 
24.1⋅10-7 
71.3⋅10-4 
25.8⋅10-7 
MANIPULATEUR 3-PRPAR 
2.78⋅10-4
 
1.94⋅10-7
 
9.86⋅10-4
 
2.06⋅10-7
 
21.2⋅10-4
 
2.65⋅10-7
 
Tableau 1 : Raideur de l'Orthoglide avec des jambes 3-PUU et 3-PRPaR 
5 Conclusion 
Dans cet article, nous avons proposé une nouvelle méthode systématique pour le calcul de la 
matrice de rigidité des manipulateurs hyperstatiques parallèles. Cette méthode est basée sur 
une modélisation rigide avec des flexibilités localisées, dont les paramètres sont évalués par 
l'intermédiaire d'une modélisation par éléments finis et décrivent la complaisance en 
translation et en rotation ainsi que les couplages entre eux. Contrairement aux travaux 
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10 
 
précédents, notre méthode utilise une nouvelle stratégie pour écrire les équations 
cinématiques, qui considère en même temps les relations cinématiques et les conditions 
d'équilibre de chaque chaîne cinématique, puis regroupe les solutions partielles. Cela permet 
de calculer de la matrice de raideur des mécanismes hyperstatique dans n'importe quelle 
posture du manipulateur, y compris dans les postures singulières ou à leurs voisinages.  
Un autre avantage de notre méthode est la simplicité des calculs qui exigent l'inversion de 
matrices de faible dimension par rapport à d'autres techniques. En outre, notre méthode ne 
nécessite pas l'élimination manuelle des flexibilités localisées redondantes associées aux 
articulations virtuelles, car cette opération est intrinsèquement incluse dans l'algorithme 
numérique. L'efficacité de notre méthode a été démontrée par des exemples d'application, qui 
traitent de l'analyse comparative de la raideur de deux manipulateurs parallèles de la famille 
de l'Orthoglide. Les résultats de nos calculs ont confirmé les avantages des architectures 
utilisant des parallélogrammes et ainsi validé la conception du prototype de l'Orthoglide. Une 
autre contribution importante de notre article est l'écriture d'un modèle analytique de la 
matrice de raideur des parallélogrammes, qui a été dérivée en utilisant la même méthodologie. 
Bien que nous ayons appliqué notre méthode à des mécanismes à 3 degrés de liberté de 
translation, notre méthode peut être étendue à d'autres architectures parallèles, composé de 
plusieurs chaînes cinématiques avec des articulations rotoïdes et prismatiques et des jambes 
différentes. Par la suite, nous allons appliquer notre méthode à des manipulateurs plus 
complexes comme la machine Verne [16], vérifier expérimentale notre modèle de rigidité sur 
le robot Orthoglide et prendre en compte l'influence de la gravité. 
Références 
[1] 
J. Tlusty, J. Ziegert et S. Ridgeway, “Fundamental Comparison of the Use of Serial and Parallel Kinematics for Machine Tools,” In: 
Annals of the CIRP, vol. 48(1), 1999. 
[2] 
P. Wenger, C. M. Gosselin et B. Maillé, “A Comparative Study of Serial and Parallel,” In: Mechanism Topologies for Machine Tools, 
PKM’99, pp. 23-32, Milano, 1999. 
[3] 
F. Majou, P. Wenger et D. Chablat, “The design of Parallel Kinematic Machine Tools using Kinetostatic Performance Criteria,” In: 3rd 
International Conference on Metal Cutting and High Speed Machining, Metz, France, Juin 2001.  
[4] 
G. Pritschow et K.-H. Wurst, “Systematic Design of Hexapods and Other Parallel Link Systems,” In: Annals of the CIRP, vol. 46(1), 
pp 291–295, 1997. 
[5] 
O. Company et F. Pierrot, “Modelling and Design Issues of a 3-axis Parallel Machine-Tool,” Mechanism and Machine Theory, vol. 37, 
pp. 1325–1345, 2002. 
[6] 
T. Brogardh, “PKM Research - Important Issues, as seen from a Product Development Perspective at ABB Robotics,” In: Workshop on 
Fundamental Issues and Future Research Directions for Parallel Mechanisms and Manipulators, Quebec, Canada, Octobre 2002. 
[7] 
A. Paskhevich, P. Wenger et D. Chablat, “Kinematic and stiffness analysis of the Orthoglide, a PKM with simple, regular workspace 
and homogeneous performances,” In: IEEE International Conference On Robotics And Automation, Rome, Italie, Avril 2007 
[8] 
C.M. Gosselin, “Stiffness mapping for parallel manipulators,” IEEE Transactions on Robotics and Automation, vol. 6, pp. 377–382, 
1990.  
[9] 
X. Kong et C. M. Gosselin, “Kinematics and Singularity Analysis of a Novel Type of 3-CRR 3-DOF Translational Parallel 
Manipulator,” The International Journal of Robotics Research, vol. 21(9), pp. 791–798, Septembre 2002. 
[10] F. Majou, C. Gosselin, P. Wenger et D. Chablat. “Parametric stiffness analysis of the Orthoglide,” Mechanism and Machine Theory, 
vol. 42(3), pp. 296–311, Mars 2007.  
[11] B.C. Bouzgarrou, J.C. Fauroux, G. Gogu et Y. Heerah, “Rigidity analysis of T3R1 parallel robot uncoupled kinematics,” In: Proc. of 
the 35th International Symposium on Robotics (ISR), Paris, France, Mars 2004.  
[12] D. Deblaise, X. Hernot et P. Maurine, “A Systematic Analytical Method for PKM Stiffness Matrix Calculation,” In: IEEE International 
Conference on Robotics and Automation (ICRA), pp. 4213–4219, Orlando, Floride, Mai 2006. 
[13] Y. Li et Q. Xu, "Stiffness Analysis for a 3-PUU Parallel Kinematic Machine", Mechanism and Machine Theory, (In press: Available 
online 6 Avril 2007) 
[14] R. Clavel, “DELTA, a fast robot with parallel geometry,” Proceedings, of the 18th International Symposium of Robotic Manipulators, 
IFR Publication, pp. 91–100, 1988. 
[15] D. Chablat et Ph. Wenger, “Architecture Optimization of a 3-DOF Parallel Mechanism for Machining Applications, the Orthoglide,” 
IEEE Transactions On Robotics and Automation, Vol. 19/3, pp. 403–410, 2003. 
[16] D. Kanaan, P. Wenger et D. Chablat, “Kinematics analysis of the parallel module of the VERNE machine,” In: 12th World Congress in 
Mechanism and Machine Science, IFToMM, Besançon, Juin 2007. 
Assises MUGV  
Nantes, 5-6 juin 2008 
 
1 
 
 
ANALYSE DE LA RIGIDITÉ DES MACHINES OUTILS 3 AXES 
D'ARCHITECTURE PARALLÈLE HYPERSTATIQUE 
 
Anatol Pashkevich, Damien Chablat, Philippe Wenger  
Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 
1 rue de la Noë, 44321 Nantes 
{Anatol.Pashkevich, Damien.Chablat, Philippe.Wenger}@irccyn.ec-nantes.fr 
 
Résumé : Cet article présente une nouvelle méthode pour modéliser la rigidité des machines outils à structure 
parallèle basée sur une modélisation de la machine par des corps rigides et des flexibilités localisées. Nous 
ajoutons des articulations virtuelles au modèle rigide, qui décrivent les déformations élastiques des composants 
du mécanisme (membrures, articulations et actionneurs). Cette approche provient des travaux de Clément 
Gosselin, qui a évalué la rigidité des mécanismes parallèles, en tenant compte uniquement des actionneurs et qui 
les a modélisés comme des ressorts linéaires unidimensionnels (les membrures étaient supposées rigides, et les 
articulations passives parfaites). Contrairement aux études précédentes, notre méthode peut s'appliquer aux 
mécanismes hyperstatiques et l'évaluation des flexibilités localisées est réalisée en utilisant une modélisation par 
éléments finis.  
Mots clés : Machines outils, rigidité, flexibilités localisées 
Abstract: The paper presents a new stiffness modelling method for overconstrained parallel manipulators, which 
is applied to 3-d.o.f. translational mechanisms. It is based on a multidimensional lumped-parameter model that 
replaces the link flexibility by localized 6-d.o.f. virtual springs. In contrast to other works, the method includes a 
FEA-based link stiffness evaluation and employs a new solution strategy of the kinetostatic equations, which 
allows computing the stiffness matrix for the overconstrained architectures and for the singular manipulator 
postures. The advantages of the developed technique are confirmed by application examples, which deal with 
comparative stiffness analysis of two translational parallel manipulators. 
Keywords: Parallel manipulators, stiffness analysis, and virtual springs.  
Assises MUGV  
Nantes, 5-6 juin 2008 
 
2 
 
1 Introduction  
Comparativement aux manipulateurs sériels, les manipulateurs parallèles (MP) sont 
réputés pour avoir un meilleur rapport rigidité/poids et une meilleure précision. Cette 
caractéristique les rend attrayants pour la conception de nouvelles machines-outils pour 
l'usinage à grande vitesse [1, 2, 3]. Quand un manipulateur parallèle est utilisé comme 
machine outil, la rigidité devient une contrainte très importante lors de sa conception [4, 5, 6, 
7]. Cet article présente une méthode générale pour évaluer la rigidité des manipulateurs à trois 
degrés de liberté hyperstatique produisant des mouvements de translation pure. Généralement, 
l'analyse de la rigidité est basée sur une modélisation cinétostatique [8], qui propose une carte 
de la rigidité en prenant en compte la rigidité des articulations motorisées. Cependant, cette 
méthode n'est pas appropriée pour les MP, dont les jambes sont soumises à la flexion [9]. 
Trois modèles existent qui permettent de prendre en compte la complaisance d'une MP 
afin d'analyser son comportement flexible : les méthodes par éléments finis (MEF) [10], 
modélisation avec membrures rigides (MMR) [11], et modélisation rigide avec flexibilités 
localisées (MRFL) [8 ]. Cette dernière méthode est basée sur l'expansion du modèle 
traditionnel rigide en ajoutant les articulations virtuelles, qui décrivent les déformations 
élastiques des composants du mécanisme (membrures, articulations et actionneurs). Cette 
approche provient des travaux de Gosselin [8], qui a évalué la rigidité des mécanismes 
parallèles, en tenant compte uniquement des actionneurs et qui les a modélisés comme des 
ressorts linéaires unidimensionnels (les membrures étaient supposées rigides, et les 
articulations passives parfaites). Ces hypothèses ont permis de réduire l’analyse de la rigidité 
d’un mécanisme à l’analyse de sa matrice jacobienne. Une évolution de ce modèle, tenant 
compte des flexibilités dans les membrures a été présentée dans [10] en utilisant des corps 
rigides et des flexibilités par des ressorts en torsion ou en flexion. Généralement, cette 
modélisation fournit une précision suffisante et les temps de calcul sont courts. On peut donc 
l’utiliser en phase de conception préliminaire, en particulier pour les analyses paramétriques. 
Cependant, nous verrons que des hypothèses de simplification qui ne prennent pas en compte 
le couplage entre la translation et de rotation peuvent aboutir à d’importantes erreurs. De plus, 
il existe également d'autres restrictions, qui limitent ses applications à l'absence de 
mécanismes hyperstatiques. 
Dans le paragraphe suivant, nous présentons une méthode générale pour déduire la modèle 
cinématique et le modèle de raideur. Le paragraphe 3 décrit les matrices de complaisance de 
chaque élément et leur assemblage pour déterminer la rigidité globale du mécanisme. 
Finalement, dans le paragraphe 4, nous appliquons notre méthode sur deux exemples. 
2 Méthodologie 
2.1 Architecture des manipulateurs étudiés  
Soit un manipulateur parallèle général à 3 degrés de liberté en translation, possédant une 
plate-forme mobile connectée à une base fixe par trois chaînes cinématiques identiques 
(Fig. 1).  
 
Base 
Ps
Ps
Ps
Ps
Ps
Ps
Ac
Mobile platform
Ps
Ps
Ps
Ps
Ps
Ps
Ac
Ps
Ps
Ps
Ps
Ps
Ps
Ac
L 
L 
L 
F
F
F
 
Fig. 1. Schéma d'ordre général d'un manipulateur parallèle à 3-ddl de translation  
(Ac – articulation motorisée, Ps – articulation passive, F - pied, L – jambe) 
Assises MUGV  
Nantes, 5-6 juin 2008 
 
3 
 
Chaque jambe comprend une articulation motorisée "Ac" (prismatique ou rotoïde), suivi 
d'un pied et d'une jambe possédant un certain nombre d'articulation passive "P". Des 
conditions géométriques existent sur les articulations passivent pour permettre d'éliminer les 
mouvements de rotation de la plate-forme et d'assurer ainsi la stabilité de ses mouvements en 
translation. Nous présentons trois exemples de ces manipulateurs : 
• le robot 3-PUU (Figure 2a), où chaque jambe est composée d'une tige terminée par deux 
cardans (avec des conditions de parallélismes entre les axes des cardans), et des 
articulations prismatiques motorisées [13] ; 
• le robot Delta (Figure 2b), qui est une architecture de type 3-RRPaR avec un 
parallélogramme dans chaque jambe et des articulations rotoïdes [14] ; 
• le robot parallèle Orthoglide (Fig 2c), qui est une architecture de type 3-PRPaR avec un 
parallélogramme dans chaque jambe et des articulations prismatique motorisées [10].  
Les lettres R, P, U et Pa représentent les articulations rotoïdes, prismatiques, les cardans et 
les parallélogrammes, respectivement. Les exemples (b) et (c) illustrent des mécanismes 
hyperstatiques, où certaines contraintes cinématiques sont redondantes, mais n'affectent pas le 
nombre de degrés de liberté. Cependant, la plupart de ces méthodes d'analyse de la rigidité 
des manipulateurs parallèles ne s'applique qu'à des manipulateurs isostatique [8].  
(a) Robot 3-PUU [13] 
(b) Robot Delta[14] 
(c) Robot Orthoglide [10] 
 
 
Fig. 2. Exemples de manipulateur parallèle à 3 ddl  
2.2 Hypothèses de base  
Pour évaluer la rigidité d'un manipulateur, nous appliquons une petite modification à la 
méthode des travaux virtuelle (MTV), qui est basée sur la méthode des flexibilités localisées 
[8, 10]. Selon cette approche, le modèle rigide de départ est modifié en ajoutant des 
articulations virtuelles, qui décrivent les déformations élastiques des corps rigides. De plus, 
des ressorts virtuels sont inclus dans les articulations motorisées pour tenir compte de la 
rigidité de la boucle de contrôle. Pour surmonter les difficultés de modélisation des 
parallélogrammes, nous allons dans un premier temps les remplacer (voir Fig. 2) par des corps 
rigides dont la rigidité dépend de la configuration. Cette modification transforme l'architecture 
générale en un mécanisme 3-xUU et nous permet ainsi d'étudier plusieurs manipulateurs de 
cette famille. Avec cette hypothèse, chaque chaîne cinématique du manipulateur peut être 
décrite par une structure sérielle (Fig. 3), qui comprend successivement: 
 
Ac
Effecteur
 
(rigide)  
Base 
 
(rigide)
U
U
ressort 
à 1 ddl
ressort 
à 6 ddl
ressort 
à 6 ddl
 
Fig. 3. Modèle flexible d'une seule chaîne cinématique 
• un corps rigide entre la base fixe du manipulateur et la ième articulation motorisée décrite 
par une matrice de transformation homogène constante 
i
base
T
 ; 
• une articulation motorisée avec un degré de liberté avec flexibilité localisée, qui est 
décrite par une matrice homogène 
0
0
(
)
i
i
a q
θ
+
V
 où 
0
iq  sont les coordonnées des actionneurs 
et 
0
i
θ  les coordonnées de l'articulation virtuelle ; 
• un corps rigide, le pied, reliant les actionneurs de la jambe et la jambe, qui est décrite par 
une matrice de transformation homogène constante 
foot
T
 ; 
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4 
 
• une articulation virtuelle à 6 degrés de liberté définissant trois mouvement de translation 
et de rotations, qui sont décrits en fonction d'une matrice homogène 
1
6
(
,
)
i
i
s θ
θ
V
K
, où 
1
2
3
{
,
,
}
i
i
i
θ
θ
θ
 et 
4
5
6
{
,
,
}
i
i
i
θ
θ
θ
 correspondent aux translations et rotations élémentaires, 
respectivement ; 
• une articulation passive de type cardan à 2 degrés de liberté placée à l'origine de la jambe 
permettant deux rotations d'angles 
1
2
{ ,
}
i
i
q q
, qui est décrite par la matrice de 
transformation homogène 
1
1
2
(
,
)
i
i
u q q
V
 ; 
• un corps rigide, la jambe, reliant le pied de la plate-forme mobile, qui est décrite par la 
matrice de transformation constante homogène 
leg
T  ; 
• une articulation virtuelle à 6 degrés de liberté définissant trois translations et trois 
rotations de la flexibilité localisée, qui sont décrits en fonction de la matrice homogène 
7
12
(
,
)
i
i
s θ
θ
V
K
, où 
7
8
9
{
,
,
}
i
i
i
θ
θ
θ
 et 
10
12
12
{
,
,
}
i
i
i
θ
θ
θ
 correspondent aux translations et aux 
rotations élémentaires, respectivement ; 
• une articulation passive de type cardan à 2 degrés de liberté placée à l'extrémité de la 
jambe permettant deux rotations d'angles 
3
4
{
,
}
i
i
q
q
, qui est décrite par la matrice de 
transformation homogène 
2
3
4
(
,
)
i
i
u
q
q
V
 ; 
• d'un lien rigide entre la jambe et l'effecteur (partie de la plate-forme mobile) décrite par la 
matrice de transformation homogène constante 
i
tool
T
 ;  
La position de l'effecteur est soumise aux variations de toutes les coordonnées d'une seule 
chaîne cinématique qui peut être écrite de la manière suivante : 
0
0
1
6
1
1
2
7
12
2
3
4
(
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
base
a
foot
s
u
leg
s
u
tool
q
q q
q
q
θ
θ
θ
θ
θ
=
+
⋅
T
T
V
T
V
V
T V
V
T
K
K
 
(1) 
où la matrice 
(.)
a
V
 est soit une fonction élémentaire de rotations ou de translations, les 
matrices 
1(.)
u
V
 et 
2(.)
u
V
sont des composantes de deux rotations successives, et la matrice 
(.)
s
V
 est composée de six transformations élémentaires. Dans le cas de corps rigides, les 
coordonnées des articulations virtuelles sont égales à zéro, tandis que les autres angles (actifs 
ou passives) sont obtenus en utilisant le modèle géométrique inverse. Des expressions 
particulières de tous les composants du produit (1) peuvent être facilement obtenues à l'aide 
des techniques standards utilisés pour définir les matrices de transformation homogènes. Il 
convient de noter que le modèle cinématique (1) comprend 18 variables (1 pour l'articulation 
active et, 4 pour les articulations passive, et 13 pour les ressorts virtuels). Toutefois, certaines 
flexibilités localisées sont redondantes, car elles sont compensées par des articulations 
passives correspondant à l'alignement des axes ou par combinaison d'articulations passives. 
Néanmoins, il n'est pas nécessaire de les détecter ni de les supprimer pour permettre notre 
analyse, parce que notre technique permet facilement et efficacement d'éliminer cette 
redondance. 
2.3 Modèle cinématique 
Pour évaluer les capacités du manipulateur pour répondre aux forces et aux couples 
extérieurs, nous écrivons les équations différentielles qui décrivent les relations entre la 
position de l'effecteur et les petites variations des articulations. Pour chaque ième chaîne 
cinématique, cette équation peut être généralisée comme suit  
,
1,2,3
i
i
i
i
q
i
i
θ
δ
=
⋅δ
+
⋅δ
=
t
J
θ
J
q
 
(2) 
où 
le 
vecteur 
δ
(δ
, δ
, δ
, δ
, δ
, δ
)T
i
xi
yi
zi
xi
yi
zi
p
p
p
ϕ
ϕ
ϕ
=
t
 
décrit 
la 
translation 
δ
(δ
, δ
, δ
)T
i
xi
yi
zi
p
p
p
=
p
 et la rotation δ
(δ
, δ
, δ
)T
i
xi
yi
zi
ϕ
ϕ
ϕ
=
ϕ
 de l'effecteur dans le repère 
cartésien; le vecteur 
0
12
(
,
)
i
i
T
i
θ
θ
δ
= δ
δ
θ
K
 comprend toutes les coordonnées des articulations 
virtuelles, le vecteur 
1
4
(
,
)
i
i
T
i
q
q
δ
= δ
δ
q
K
 comprend toutes les coordonnées des articulations 
passives, le symbole ' 'δ  représente les variations par rapport au cas rigide, 
ι
θ
J  et 
q
ιJ  sont des 
matrices de tailles 6×13 et 6×4 respectivement. Il convient de noter que la dérivée des 
coordonnées articulaires motorisées 
0
i
q  n'est pas inclus dans 
q
ιJ  mais elle est représentée dans 
la première colonne de 
ι
θ
J  à travers la variable 
0
iθ . Les matrices 
ι
θ
J , 
q
ιJ , qui sont les seuls 
paramètres de l'équation différentielle (2), peuvent être calculées à partir de l'équation (1) de 
manière analytique en utilisant un logiciel de calcul formel comme Maple, MathCAD ou 
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5 
 
Mathematica. Toutefois, une simple différenciation de ces expressions donne des expressions 
complexes à manipuler pour des calculs supplémentaires. D'autre part, la décomposition de 
(1), où toutes les variables sont séparées, nous permet d'appliquer des méthodes de 
décomposition semi-analytique. Pour présenter cette technique, nous supposons que les 
articulations virtuelles 
0
iθ , le modèle (1) peut être réécrit par, 
1
2
(
)
i
i
ij
j
j
ij
θ
=
⋅
θ
⋅
T
H
V
H  
(3) 
où la première et la troisième matrices sont des matrices de homogènes constantes, et le 
second est une matrice de transformation homogène comprenant des translations et de 
rotations élémentaires. Ensuite, les dérivées partielles de la matrice homogène 
iT  pour les 
variables 
i
jθ  pour 
0
i
j
θ =
 peuvent être calculées à partir d'un produit similaire où le terme 
(.)
j
θ′
V
 est remplacé par son expression analytique. En particulier, pour les translations et les 
rotations élémentaires autour de l'axe X, ces matrices peuvent s'écrire : 
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
x
Tran
⎡
⎤
⎢
⎥
′
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
V
;   
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
x
Rot
⎡
⎤
⎢
⎥
=
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
V
. 
(4)  
En outre, à partir de la dérivation de la matrice homogène, 
1
2
(
)
i
i
ij
j
j
ij
θ
′
′
=
⋅
θ
⋅
T
H
V
H  peut être 
présentées par  
0
0
0
0
0
0
0
iz
iy
ix
iz
ix
iy
i
iy
ix
iz
p
p
p
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
′
′
′
−
⎡
⎤
′
′
′
⎢
⎥
−
′ = ⎢
⎥
′
′
′
−
⎢
⎥
⎣
⎦
T
 
(5) 
Alors la jème colonne de 
ι
θ
J  peut être extraite à partir de 
i′
T  (en utilisant les éléments des 
matrices 
14
T′ , 
24
T′ , 
34
T′ ,
23
T′ , 
31
T′ , 
12
T′ ). Les matrices jacobiennes 
q
ιJ  peuvent être calculée de la 
même manière, mais elles sont évaluées au voisinage de leurs position nominales 
i
jnom
q
 qui 
correspond au cas rigide (ces valeurs sont fournies par le modèle cinématique inverse). 
Toutefois, 
la 
simple 
transformation 
i
i
i
j
j
j
nom
q
q
q
δ
=
+
 
et 
la 
factorisation 
de 
(
)
(
)
(
)
i
i
i
q j
j
q j
j
q j
j
nom
q
q
q
δ
=
⋅
V
V
V
 permettent l'application de l'approche ci-dessus. Il convient 
également de mentionner que cette technique peut être utilisée dans des calculs analytiques et 
permet d'éviter des équations volumineuses produites par une simple différenciation 
automatique. 
2.4 Modélisation de la rigidité d'un manipulateur 
Pour le modèle de rigidité, qui décrit la relation entre les efforts et le déplacement, il est 
nécessaire d'introduire de nouvelles équations qui définissent les réactions des articulations 
virtuelles aux déformations des flexibilités localisées. Conformément à notre modèle de 
raideur, trois types de flexibilités localisées sont inclus dans chaque chaîne cinématique : 
• une flexibilité localisée à 1-ddl décrivant la complaisance de l'actionneur ;  
• une flexibilité localisée à 6-ddl décrivant la complaisance du pied ; 
• une flexibilité localisée à 6-ddl décrivant la complaisance de la jambe. 
En supposant que les déformations des flexibilités localisées sont petites, les relations peuvent 
être exprimées par des équations linéaires. 
0
i
i
act
K
τ θ0
⎡
⎤
⎡
⎤
=
θ
⎣
⎦
⎣
⎦; 
1
6
i
i
Foot
i
i
τ
τ
θ1
θ6
⎡
⎤
θ
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
θ
⎣
⎦
⎣
⎦
K
M
M
; 
7
12
i
i
Leg
i
i
τ
τ
θ7
θ12
⎡
⎤
θ
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
θ
⎣
⎦
⎣
⎦
K
M
M
 
(6)  
où 
i
j
τθ  est la force généralisée de la jème articulation virtuelle de la ième chaîne cinématique, 
act
K
 est la raideur de l'actionneur, et 
Foot
K
, 
Leg
K
sont des matrices de raideur de dimensions 
6×6 associées aux jambes et aux pieds respectivement. Il convient de souligner que, 
contrairement à d'autres études, ces matrices sont supposées être non-diagonales. Cela nous 
permet de prendre en compte les couplages entre les déformations angulaires et de 
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6 
 
translations, qui sont souvent ignorées [8]. Pour facilité l'analyse, les expressions (6) peuvent 
être regroupées dans une seule matrice sous la forme, 
θ
,
1,2,3
i
i
i
θ =
⋅δ
=
τ
K
θ
  
(7) 
où 
0
12
(
,
)
i
i
i
T
τ
τ
θ
θ
θ
=
τ
K
 est le vecteur regroupant les réactions des articulations virtuelles, et 
diag(
,
,
)
act
Foot
Leg
K
=
θ
K
K
K
 est la matrice de rigidité des flexibilités localisées de dimension 
13×13. De la même manière, on peut définir le vecteur regroupant les réactions des 
articulations passives 
1
4
(
,
)
i
i
i
T
q
q
q
τ
τ
=
τ
K
, mais tous ses éléments doivent être égaux à zéro : 
,
1,2,3
i
q
i
=
=
τ
0
 
(8) 
Pour trouver les équations correspondant au déplacement de l'effecteur 
i
δt , nous appliquons 
le principe des travaux virtuels en supposant que les déplacement des articulations sont petites 
et que ces déplacements (
,
)
i
i
Δ
Δ
θ
q  sont autour de la position d'équilibre. Ensuite, le travail 
virtuel de la force extérieure 
if  appliquée sur l'effecteur 
i
i
i
i
q
i
θ
Δ
=
⋅Δ
+
⋅Δ
t
J
θ
J
q  est égale à la 
somme (
)
(
)
T
i
T
i
i
i
i
q
i
θ ⋅Δ
+
⋅Δ
f J
θ
f J
q . Pour les forces internes, le travail virtuel est 
θ
Ti
i
−
⋅Δ
τ
θ  
puisque les articulations passives ne produisent pas la force ni de couples résistants (le signe 
moins prend en compte les orientations adoptées pour la définition des flexibilités localisées). 
Par conséquent, pour avoir un équilibre statique, les travaux virtuels doivent être égaux à zéro 
pour les articulations virtuel. Les conditions d'équilibre peuvent alors s'écrire  
Ti
i
i
θ
θ
⋅
=
J
f
τ ;     
Ti
q
i
⋅
=
J
f
0 . 
(9) 
Cela donne d'autres expressions décrivant la transformation des forces et des couples entre les 
articulations et l'effecteur. Ainsi, le modèle cinétostatique complet se compose de cinq 
matrices (2), (7)…(9) où 
if  et 
i
δt  sont considérés comme connus, et les autres variables sont 
considérées comme inconnues. De toute évidence, puisque les chaînes cinématiques sont 
distinctes et possèdent certains degrés de liberté, ce système ne peut pas être résolu 
uniquement en connaissant 
if . Cependant, pour un déplacement donné de l'effecteur 
i
δt , il est 
possible de calculer les forces externes correspondants 
if  et de les variables internes 
i
δθ , 
i
θ
τ , 
i
δq  (c'est-à-dire les déplacements de flexibilités localisées et les déplacements des 
articulations passive). Comme cette matrice est non singulière, 
i
δθ  peut être exprimée à partir 
de 
if  à l'aide des équations 
θ
i
i
θ =
⋅δ
τ
K
θ  et 
Ti
i
i
θ
θ
⋅
=
J
f
τ . Cela nous permet de réduire notre 
système à cette équation 
1
θ
(
)
T
i
i
i
i
q
i
i
−
θ
θ ⋅
+
⋅δ
= δ
J K
J
f
J
q
t ;     
Ti
q
i
⋅
=
J
f
0  
(10) 
avec les inconnues 
if  et 
i
Δq . Ce système peut également être réécrit sous forme de matrice  
θ
i
i
q
i
i
T
i
i
q
⎡
⎤
δ
⎡
⎤
⎡
⎤
⋅
=
⎢
⎥
δ
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
S
J
f
t
q
0
J
0
 
(11) 
où 
1
θ
θ
T
i
i
i
−
θ
θ
=
S
J K
J  décrit le complaisance par rapport à l'effecteur, et 
i
q
J  tient compte des 
articulations passives sur le mouvement de l'effecteur. Par conséquent, pour une chaîne 
cinématique, la matrice de raideur 
i
K  définissant la relation entre les efforts extérieurs et les 
déplacements de l'effecteur est  
i
i
i
=
⋅δ
f
K
t  
(12) 
Cette matrice peut être calculée en inversion la matrice de dimension 10×10 en extrayant une 
sous-matrice de dimension 6×6 qui correspondant à 
θ
iS . Il est également important de 
mentionner que notre méthode ne nécessite que l'inversion d'une 6×6 puise que 
1
1
1
1
diag(
,
,
)
act
Foot
Leg
K
−
−
−
−
θ =
K
K
K
.  
Dans le cas général c'est-à-dire pour tout 
i
θ
J  et 
i
q
J , il n'est pas possible de prouver que 
l'équation (11) est inversible. De plus, si 
i
q
J  est singulière, les coordonnées des articulations 
passives 
iq  ne sont pas uniques. D'un point de vue physique, cela signifie que si la chaîne 
cinématique est située dans une posture singulière, certains déplacements peuvent être générés 
par un déplacement infinitésimal des articulations passives. Mais pour un effort donné 
if , la 
solution correspondante est unique (puisque 
i
θ
J  est non singulière s'il existe au moins une 
flexibilité localisée dans une chaîne cinématique). D'autre part, une configuration singulière 
peut être associée à une infinité de matrices de raideur pour la même localisation de l'effecteur 
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7 
 
et pour différentes 
iq  calculés par le modèle géométrique inverse. Pour résoudre ce problème 
nous avons programmé une méthode basée sur une décomposition en valeurs singulières. 
Lorsque la matrice de raideur de chaque jambe 
i
K  a été évaluée, nous obtenons la matrice de 
raideur du manipulateur par une simple addition  
3
1
i
m
i
=
= ∑
K
K  
(13) 
Ceci découle du principe de superposition, parce que la force extérieure totale correspondant 
au déplacement de l'effecteur δt  (la même pour toutes les chaînes cinématiques) peut être 
exprimé sous la forme 
3
1
i
i
=
= ∑
f
f  avec 
i
i
=
⋅δ
f
K
t .  
Il convient de souligner que la matrice résultant n'est pas inversible, puisque certains 
mouvements de l'effecteur ne produisent pas les réactions sur les flexibilités localisées (à 
cause de l'influence des articulations passives). Cependant, pour l'ensemble de manipulateur, 
la matrice de raideur est définie positive et inversible pour toutes les postures non singulières.  
3 Définitions des éléments complaisants 
Pour chaque jambe, notre modèle de rigidité comprend trois éléments, qui sont décrits par une 
flexibilité localisée à 1ddl et deux autres à 6-ddl qui correspondes à la complaisances de 
l'actionneur, du pied et de la jambe (voir Fig. 3). Nous allons maintenant décrire une méthode 
pour évaluer les matrices de complaisance. 
3.1 Complaisance des actionneurs  
La complaisance de l'actionneur est un scalaire qui dépend de la mécanique et de la boucle 
d'asservissement. Comme la plupart des actionneurs sont commandés par un PID numérique, 
la principale source d'erreur est liée à la transmission mécanique qui souvent en dehors de la 
boucle de contrôle (vis à billes, engrenages, courroies, ...) dont la complaisance est 
comparable à la complaisance des autres éléments du manipulateur. En raison de la 
complexité de la structure mécanique des servomoteurs, ce paramètre est souvent évalué à 
partir des expériences en statique. 
3.2 Complaisance des membrures 
Dans notre étude, la complaisance des membrures ou son inverse, la rigidité, est définie par 
une matrice symétrique définie positive de dimension 6×6 correspondant à une flexibilité 
localisée à 6-ddl avec un couplage entre les déformations de translation et de rotation. Le 
moyen le plus simple pour obtenir ces matrices est de les assimiler à des poutres pour lesquels 
les éléments non-nul de la matrice de raideur sont :  
11
L
k
EA
=
;
3
22
3
z
L
k
EI
=
;
3
33
3
y
L
k
EI
=
;
44
L
k
GJ
=
;
55
y
L
k
EI
=
;
66
z
L
k
EI
=
;
2
35
2
y
L
k
EI
=−
;
2
26
2
z
L
k
EI
=
 (14) 
avec L la longueur de la poutre, A sa surface de la section transversale, Iy, Iz et J sont les 
inerties quadratiques et polaire de la section transversale, et E et G sont les modules d'Young 
et de Coulomb, respectivement. Cependant, pour certaines géométries complexes des 
membrures, une simple approximation par une poutre n'est pas suffisante. Dans ce cas, nous 
pouvons assimiler une membrure à une série de poutres assemblées en série par encastrement 
et à utiliser la matrice de rigidité résultante. 
3.3 Complaisance des membrures évaluée par une modélisation par éléments finis 
Pour des membrures possédant une forme complexes, des résultats plus précis peuvent être 
obtenus en utilisant une modélisation par éléments finis. Pour appliquer cette approche, nous 
ajoutons au modèle CAO de chaque membrure, une pièce de référence "pseudo-rigide", qui 
est utilisé comme référence pour l'évaluation de la complaisance et l'origine de chaque 
membrure est fixe. Puis, en appliquant des efforts et des couples unitaires sur la pièce de 
référence, il est possible d'évaluer les déplacements angulaires et linéaires, ce qui permet 
l'évaluation des colonnes de la matrice de rigidité. La principale difficulté ici est d'obtenir les 
Assises MUGV  
Nantes, 5-6 juin 2008 
 
8 
 
valeurs exactes des déplacements en utilisant un bon maillage. De plus, pour accroître la 
précision, les déplacements doivent être évalués en utilisant des données redondantes qui 
décrivent le déplacement du corps de référence. C'est pour cela que nous une décomposition 
en valeur singulière. À partir de notre étude, nous avons constaté qu'une approximation du 
pied par une seule poutre donne une précision de 50%, et les quatre poutres améliore jusqu'à 
30% seulement. Cependant, bien que la méthode basée sur des éléments finis soit la plus 
précise elle est aussi la coûteuse en temps de calcul. Toutefois, contrairement à une simple 
modélisation par élément finis de l'ensemble du manipulateur, qui exige un nouveau maillage 
des conditions aux limites à chaque fois que nous changeons de posture, notre méthode ne 
demande qu'un calcul d'évaluation de la raideur des membrures. 
4 Exemples d'application 
Pour démontrer l'efficacité de notre méthode, nous allons l'appliquer pour comparer la rigidité  
de deux mécanismes à 3ddl basés sur l'architecture de l'Orthoglide. Les modèles CAO de ces 
mécanismes sont représentés dans la Fig. 4. 
x
z
y
B1
P
A1
C1
A2
C2
A3
C3
B3
 
B1
i1
P
x
z
y
j1
A1
C1
A2
B2
C2
A3
C3
B3
 
x
z
y
Q2
Q1
 
(a) Orthoglide avec des 
cardans 
(b) Orthoglide avec des 
parallélogrammes 
(c) Points critiques Q1 et Q2 
de l'espace de travail 
Fig. 4. Cinématique de 2 mécanismes basés sur l'Orthoglide 
4.1 Rigidité de l'Orthoglide avec des cardans  
Nous écrivons un modèle de rigidité simplifiée de l'Orthoglide où les jambes sont de type 
PUU c'est-à-dire avec deux cardans. Cependant, pour conserver les propriétés de l'Orthoglide, 
la section de la membrure entre les deux cardans est doublée pour être équivalent aux bars des 
parallélogrammes. En faisant l'hypothèse que l'origine de notre système de coordonnée est 
situé sur le repère de l'effecteur lorsque le manipulateur est en posture isotrope (quand les 
jambes sont mutuellement perpendiculaires et parallèles aux axes de prismatiques). Avec cette 
hypothèse, les modèles géométriques de différentes chaînes cinématiques peuvent être décrit 
par l'expression (1), où 
{ , , }
i
x y z
∈
 et les différentes matrices sont définies par les opérateurs 
de translation et de rotation 
(.),
(.),
(.)
x
y
z
T
T
R
K
 suivants :  
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
x
base
L r
−−
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
T
 
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
x
tool
r
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
T
 
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
y
base
L r
⎡
⎤
⎢
⎥
−−
⎢
⎥
=⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
T
 
(15) 
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
y
tool
r
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
T
 
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
z
base
L r
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=⎢
⎥
−−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
T
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
z
base
r
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
T
 
(16) 
0
0
0
0
(
)
(
)
a
x
q
q
+ θ
=
+ θ
V
T
;  
Foot =
T
I ;   
( )
leg
x L
=
T
T
;  
(17) 
1
6
1
2
3
4
5
6
(
,...
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
s
x
y
z
x
y
z
θ
θ
=
θ
θ
θ
θ
θ
θ
V
T
T
T
R
R
R
 
(18) 
1
1
2
1
2
(
,
)
(
)
(
)
u
z
y
q q
q
q
=
V
R
R
; 
2
3
4
3
4
(
,
)
(
)
(
)
u
y
z
q q
q
q
=
V
R
R
 
(19) 
Assises MUGV  
Nantes, 5-6 juin 2008 
 
9 
 
Avec L et r sont les paramètres géométriques du manipulateur (longueur de la jambe et 
décalage de l'effecteur respectivement), et les autres variables sont les mêmes que dans 
l'équation (1). Comme dans le cas d'un manipulateur rigide, l'effecteur produit uniquement 
des mouvements de translation, les articulations passives sont soumis à des contraintes 
spécifiques 
3
2
4
1
;
q
q
q
q
= −
= −
, qui sont implicitement utilisées dans le calcul du modèle 
géométrique direct et inverse. Toutefois, le modèle flexible permet des variations de toutes les 
articulations passives. En utilisant la modélisation de la raideur des membrures calculée avec 
les éléments finis et en appliquant notre méthode, nous avons calculé les matrices de raideur 
pour trois postures typiques du manipulateur et les résultats sont dans le tableau 1. On les 
compare ensuite avec un manipulateur avec des parallélogrammes. 
4.2 Rigidité de l'Orthoglide avec des parallélogrammes 
Avant d'évaluer la complaisance de manipulateur, nous devons évaluer la matrice de raideur 
des parallélogrammes. En utilisant les notations adoptées, nous pouvons écrire le modèle 
équivalent d'un parallélogramme  
2
2
7
12
(
)
( )
(
)
(
,
)
Plg
y
x
y
s
q
L
q
θ
θ
=
⋅
⋅
−
⋅
T
R
T
R
V
K
 
(20) 
Où, par rapport au cas précédent, la troisième articulation passive est éliminé (il est 
implicitement admis que 
3
2
q
q
= −
). D'autre part, chaque parallélogramme peut être divisé en 
deux chaînes cinématiques sérielles (le «haut» et le «bas»)  
1
1
6
2
(
/2)
(
)
( )
(
,
) 
(
)
( /2)
up
up
up
up
haut
z
y
x
s
y
z
d
q
q
L
q
q
d
θ
θ
=
−
⋅
+ Δ
⋅
⋅
⋅
−+ Δ
⋅
T
T
R
T
V
R
T
K
 
(21) 
1
1
6
2
( /2)
(
)
( )
(
,
) 
(
)
(
/2)
dn
dn
dn
dn
bas
z
y
x
s
y
z
d
q
q
L
q
q
d
θ
θ
=
⋅
+ Δ
⋅
⋅
⋅
−+ Δ
⋅
−
T
T
R
T
V
R
T
K
 
(22) 
Où L, d sont les paramètres géométriques des parallélogrammes, 
1
2
,
,
{
,
}
i
i
q
q
i
up dn
Δ
Δ
∈
 sont 
les variations des articulations passives. Ainsi, les matrices de complaisance du 
parallélogramme peuvent être également obtenues à l'aide de notre technique qui donne une 
expression analytique, 
11
22
26
2
2
2
22
2
22
44
2
2
11
2
2
2
2
22
22
26
66
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
4
8
0
0
0
0
0
4
0
0
0
8
4
q
q
Plg
q
q
q
K
K
K
d C K
d S K
K
d C K
d S K
d S K
K
K
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
+
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
K
 avec 
cos( );
sin( )
q
q
C
q
S
q
=
=
 
En utilisant ce modèle et en appliquant la technique proposée, on a calculé les matrices de 
rigidité pour trois postures particulières du manipulateur (voir tableau 1). Comme pour la 
comparaison avec l'utilisation des cardans, les parallélogrammes augment la raideur en torsion 
d'environ 10 fois. Cela justifie l'utilisation de cette architecture dans la conception du 
prototype de l'Orthoglide [15]. 
TYPE D'ARCHITECTURE 
POINT Q0 ( , ,
0.00
x y z
mm
=
) 
POINT Q1 ( , ,
73.65
x y z
mm
= −
) 
POINT Q2 ( , ,
126.35
x y z
mm
= +
) 
tran
k
 [MM/N] 
rot
k
 [RAD/N.MM]
tran
k
 [MM/N] 
rot
k
 [RAD/N.MM] 
tran
k
 [MM/N] 
rot
k
 [RAD/N.MM] 
MANIPULATEUR 3-PUU  
2.78⋅10-4 
20.9⋅10-7 
10.9⋅10-4 
24.1⋅10-7 
71.3⋅10-4 
25.8⋅10-7 
MANIPULATEUR 3-PRPAR 
2.78⋅10-4
 
1.94⋅10-7
 
9.86⋅10-4
 
2.06⋅10-7
 
21.2⋅10-4
 
2.65⋅10-7
 
Tableau 1 : Raideur de l'Orthoglide avec des jambes 3-PUU et 3-PRPaR 
5 Conclusion 
Dans cet article, nous avons proposé une nouvelle méthode systématique pour le calcul de la 
matrice de rigidité des manipulateurs hyperstatiques parallèles. Cette méthode est basée sur 
une modélisation rigide avec des flexibilités localisées, dont les paramètres sont évalués par 
l'intermédiaire d'une modélisation par éléments finis et décrivent la complaisance en 
translation et en rotation ainsi que les couplages entre eux. Contrairement aux travaux 
Assises MUGV  
Nantes, 5-6 juin 2008 
 
10 
 
précédents, notre méthode utilise une nouvelle stratégie pour écrire les équations 
cinématiques, qui considère en même temps les relations cinématiques et les conditions 
d'équilibre de chaque chaîne cinématique, puis regroupe les solutions partielles. Cela permet 
de calculer de la matrice de raideur des mécanismes hyperstatique dans n'importe quelle 
posture du manipulateur, y compris dans les postures singulières ou à leurs voisinages.  
Un autre avantage de notre méthode est la simplicité des calculs qui exigent l'inversion de 
matrices de faible dimension par rapport à d'autres techniques. En outre, notre méthode ne 
nécessite pas l'élimination manuelle des flexibilités localisées redondantes associées aux 
articulations virtuelles, car cette opération est intrinsèquement incluse dans l'algorithme 
numérique. L'efficacité de notre méthode a été démontrée par des exemples d'application, qui 
traitent de l'analyse comparative de la raideur de deux manipulateurs parallèles de la famille 
de l'Orthoglide. Les résultats de nos calculs ont confirmé les avantages des architectures 
utilisant des parallélogrammes et ainsi validé la conception du prototype de l'Orthoglide. Une 
autre contribution importante de notre article est l'écriture d'un modèle analytique de la 
matrice de raideur des parallélogrammes, qui a été dérivée en utilisant la même méthodologie. 
Bien que nous ayons appliqué notre méthode à des mécanismes à 3 degrés de liberté de 
translation, notre méthode peut être étendue à d'autres architectures parallèles, composé de 
plusieurs chaînes cinématiques avec des articulations rotoïdes et prismatiques et des jambes 
différentes. Par la suite, nous allons appliquer notre méthode à des manipulateurs plus 
complexes comme la machine Verne [16], vérifier expérimentale notre modèle de rigidité sur 
le robot Orthoglide et prendre en compte l'influence de la gravité. 
Références 
[1] 
J. Tlusty, J. Ziegert et S. Ridgeway, “Fundamental Comparison of the Use of Serial and Parallel Kinematics for Machine Tools,” In: 
Annals of the CIRP, vol. 48(1), 1999. 
[2] 
P. Wenger, C. M. Gosselin et B. Maillé, “A Comparative Study of Serial and Parallel,” In: Mechanism Topologies for Machine Tools, 
PKM’99, pp. 23-32, Milano, 1999. 
[3] 
F. Majou, P. Wenger et D. Chablat, “The design of Parallel Kinematic Machine Tools using Kinetostatic Performance Criteria,” In: 3rd 
International Conference on Metal Cutting and High Speed Machining, Metz, France, Juin 2001.  
[4] 
G. Pritschow et K.-H. Wurst, “Systematic Design of Hexapods and Other Parallel Link Systems,” In: Annals of the CIRP, vol. 46(1), 
pp 291–295, 1997. 
[5] 
O. Company et F. Pierrot, “Modelling and Design Issues of a 3-axis Parallel Machine-Tool,” Mechanism and Machine Theory, vol. 37, 
pp. 1325–1345, 2002. 
[6] 
T. Brogardh, “PKM Research - Important Issues, as seen from a Product Development Perspective at ABB Robotics,” In: Workshop on 
Fundamental Issues and Future Research Directions for Parallel Mechanisms and Manipulators, Quebec, Canada, Octobre 2002. 
[7] 
A. Paskhevich, P. Wenger et D. Chablat, “Kinematic and stiffness analysis of the Orthoglide, a PKM with simple, regular workspace 
and homogeneous performances,” In: IEEE International Conference On Robotics And Automation, Rome, Italie, Avril 2007 
[8] 
C.M. Gosselin, “Stiffness mapping for parallel manipulators,” IEEE Transactions on Robotics and Automation, vol. 6, pp. 377–382, 
1990.  
[9] 
X. Kong et C. M. Gosselin, “Kinematics and Singularity Analysis of a Novel Type of 3-CRR 3-DOF Translational Parallel 
Manipulator,” The International Journal of Robotics Research, vol. 21(9), pp. 791–798, Septembre 2002. 
[10] F. Majou, C. Gosselin, P. Wenger et D. Chablat. “Parametric stiffness analysis of the Orthoglide,” Mechanism and Machine Theory, 
vol. 42(3), pp. 296–311, Mars 2007.  
[11] B.C. Bouzgarrou, J.C. Fauroux, G. Gogu et Y. Heerah, “Rigidity analysis of T3R1 parallel robot uncoupled kinematics,” In: Proc. of 
the 35th International Symposium on Robotics (ISR), Paris, France, Mars 2004.  
[12] D. Deblaise, X. Hernot et P. Maurine, “A Systematic Analytical Method for PKM Stiffness Matrix Calculation,” In: IEEE International 
Conference on Robotics and Automation (ICRA), pp. 4213–4219, Orlando, Floride, Mai 2006. 
[13] Y. Li et Q. Xu, "Stiffness Analysis for a 3-PUU Parallel Kinematic Machine", Mechanism and Machine Theory, (In press: Available 
online 6 Avril 2007) 
[14] R. Clavel, “DELTA, a fast robot with parallel geometry,” Proceedings, of the 18th International Symposium of Robotic Manipulators, 
IFR Publication, pp. 91–100, 1988. 
[15] D. Chablat et Ph. Wenger, “Architecture Optimization of a 3-DOF Parallel Mechanism for Machining Applications, the Orthoglide,” 
IEEE Transactions On Robotics and Automation, Vol. 19/3, pp. 403–410, 2003. 
[16] D. Kanaan, P. Wenger et D. Chablat, “Kinematics analysis of the parallel module of the VERNE machine,” In: 12th World Congress in 
Mechanism and Machine Science, IFToMM, Besançon, Juin 2007.